高考数学复习 抛物线的简单几何性质 (2)

2.3.2抛物线的简单几何性质（1）高二数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程一、温故知新(一)圆锥曲线的统一定义平面内，到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e的点的轨迹,当e＞1时，是双曲线.当0e1时，是椭圆；(定点F不在定直线l上)当e=1时，是抛物线.(二)抛物线的标准方程(1)开口向右y2=2px(p0)(2)开口向左y2=-2px(p0)(3)开口向上x2=2py(p0)(4)开口向下x2=-2py(p0)范围1、由抛物线y2=2px（p0）220pxy有0p0x所以抛物线的范围为0,xyR二、探索新知如何研究抛物线y2=2px（p0）的几何性质?xy对称性2、(,)xy关于x轴对称(,)xy即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，xy顶点3、o定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p0)的顶点（0，0）.xy离心率4、抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p0)的离心率为e=1.xyxyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.pp,2pp,22p通径5、2p越大，抛物线张口越大.练习1:已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.16通径的长度|AB|=连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。|PF|=x0+p/2焦半径公式：焦半径6、xyOFP焦点弦长度公式：12pxx方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）二、讲授新课特点:1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），22解:所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2(22)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.22三、典例精析题型一：求抛物线的标准方程------待定系数法当焦点在x(y)轴上，开口方向不定时，设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0))，可避免讨论练习：P631、2、3例2.斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点,且与抛物线相交于AB、两点,求线段AB的长.ABl想一想这是一道简单，但解法丰富的典型的抛物线问题，你能给出它的几种解法吗？题型二：弦长问题具体步骤由同学们给出.8ABABl法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.迁移体验2过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于()A．8B．10C．6D．4解析：由AB过抛物线焦点且p＝2，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.【变式训练】A练习2:2.过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为_________3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4,求直线AB的方程.y2=8x0453X=316（1）已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则P=。22(0)ypxp（2）抛物线的弦AB垂直x轴，若|AB|=，则焦点到AB的距离为。24yx4342（3）已知直线x-y=2与抛物线交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是。24yx(4,2)四、课堂练习5.点A的坐标为(3，1)，若P是抛物线上的一动点，F是抛物线的焦点，则|PA|+|PF|的最小值为()(A)3(B)4(C)5(D)624yx4、求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点在直线x-2y-4=0上.(2)焦点在轴x上且截直线2x-y+1=0所得的弦长为15.6、已知Q(4,0)，P为抛物线上任一点，则|PQ|的最小值为()A.B.C.D.21yx32102192322168yxxy或22124yxyx或BC五、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、通径：6、光学性质：从焦点出发的光线，通过抛物线反射就变成了平行光束.作业：课本P64：A组3探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理。平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能的理论依据。例2：探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处。已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。xyOBA(40,30)解:所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p·40解之:p=445故所求抛物线的标准方程为:y2=x,245焦点为(,0)84524l例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽多少？xoAy若在水面上有一宽为2米,高为1.6米的船只，能否安全通过拱桥？思考题2BA（2,－2）x2=－2y6xB（1，y）y=－0.5B到水面的距离为1.5米不能安全通过y=－3代入得26水面宽