教辅：新课标版数学（理）高三总复习之第6-1数列

高考调研第1页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习第六章数列高考调研第2页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习第1课时数列的基本概念高考调研第3页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．高考调研第4页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习请注意关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，因此对本节要细心领会，认真掌握．高考调研第5页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第6页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数．高考调研第8页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习请注意关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，因此对本节要细心领会，认真掌握．高考调研第9页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习1．数列的概念按排成的一列数叫做数列．2．数列的通项公式数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．一定次序an高考调研第10页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习3．数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})的函数，当自变量依次取值时对应的一列函数值．数列的通项公式是相应函数的解析式，它的图像是．4．数列的分类(1)根据数列的项数可分为、___________．(2)按照数列的每一项随序号变化的情况可分为：①递增数列；②递减数列；③摆动数列；④常数列．从小到大一群孤立的点有穷数列无穷数列高考调研第11页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习5．递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．用一个公式高考调研第12页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习1．(课本习题改编)已知数列的通项公式an＝n2－5n－14，n∈N*，则：(1)这个数列的第4项是__________；(2)52是这个数列的第__________项；(3)这个数列的第__________项最小；(4)这个数列前__________项的和最小．答案(1)－18(2)11(3)2或3(4)6或7高考调研第13页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习2．已知数列2，5，22，…，则25是该数列的()A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项答案C高考调研第14页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习解析由数列2，5，22，…的前三项2，5，8可知，数列的通项公式为an＝2＋3n－1＝3n－1，由3n－1＝25，可得n＝7.高考调研第15页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习3．(2014·新课标全国Ⅱ文)数列{an}满足an＋1＝11－an，a8＝2，则a1＝________.答案12高考调研第16页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习解析由an＋1＝11－an及a8＝2，得2＝11－a7，解得a7＝12；由a7＝12，得12＝11－a6，解得a6＝－1；同理可得a5＝2.由此可得，a4＝12，a3＝－1，a2＝2，a1＝12.高考调研第17页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习4．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a7＋a8的值为______．答案28解析a7＋a8＝S8－S6＝82－62＝28.高考调研第18页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习5．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是________．答案an＝2n＋1高考调研第19页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第20页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习题型一归纳通项公式例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)1,0，13，0，15，0，17，0，…(4)32，1，710，917，…高考调研第21页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝89(1－110n)．高考调研第22页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(3)把数列改写成11，02，13，04，15，06，17，08，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此数列的通项可表示为an＝1＋－1n＋12n.高考调研第23页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，∴可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.高考调研第24页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)an＝(－1)n(6n－5)(2)an＝89(1－110n)(3)an＝1＋－1n＋12n(4)an＝2n＋1n2＋1高考调研第25页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习探究1(1)此类问题常常将数列的各项结构形式分解成若干个基本数列对应项的“和”、“差”、“积”，再进行分析归纳．(2)有些数列的通项公式可以用分段函数形式表示．(3)应熟记一些基本数列的通项公式．高考调研第26页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习思考题1写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，…(2)－1，85，－157，249，…高考调研第27页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)观察各项的特点：每一项都比2的n次幂多1，所以an＝2n＋1.(2)数列的符号规律为(－1)n，由第二、三、四项特点，可将第一项看作－33，这样，先不考虑符号，则分母为3,5,7,9，…，可归纳为2n＋1，分子为3,8,15,24，…，将其每一项加1后变成4,9,16,25，…，可归纳为(n＋1)2，综上，数列的通项公式为an＝(－1)n·n＋12－12n＋1＝(－1)nn2＋2n2n＋1.高考调研第28页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)an＝2n＋1(2)an＝(－1)nn2＋2n2n＋1高考调研第29页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习例2已知数列{an}的前n项和为Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.∴an＝4n－5.别忘记改高考调研第30页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(2)当n≥2时，Sn－Sn－1＝an＝3n＋b－3n－1－b＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝3＋b.∴当b＝－1时，a1＝3－1＝2适合an＝2·3n－1.∴an＝2·3n－1.当b≠－1时，a1＝3＋b不适合an＝2·3n－1.∴an＝2·3n－13＋bn≥2，n＝1.高考调研第31页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)an＝4n－5(2)当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝2·3n－13＋bn≥2，n＝1高考调研第32页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【讲评】①学生在解此题时经常出现两种错误，一是忽略了n＝1的特殊情况，二是把公式错用成an＝Sn＋1－Sn；②一种能迅速判断出a1是否也符合由an＝Sn－Sn－1求出的一般式的方法是：若S0＝0则符合，否则不符合．这种方法一般不能作为解答题的步骤，但用其解某些选择、填空题或用来检验不失为一种简单易用的好办法．高考调研第33页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习探究2an与Sn的关系式an＝Sn－Sn－1的条件是n≥2，求an时切勿漏掉n＝1即a1＝S1的情况．一般地，当a1＝S1适合an＝Sn－Sn－1时，an＝Sn－Sn－1；当a1＝S1不适合an＝Sn－Sn－1时，an＝S1Sn－Sn－1n＝1，n≥2.高考调研第34页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(1)已知{an}的前n项和为Sn，满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.思考题2【解析】∵Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1.∴n＝1时，a1＝3.n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n.∴an＝3，n＝1，2n，n≥2.【答案】3，n＝1，2n，n≥2高考调研第35页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知数列{an}的前n项和Sn满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12，求an.【思路】由已知条件可将an＝Sn－Sn－1(n≥2)代入等式，得关于Sn与Sn－1的一个等式，经变形推得数列1Sn具有等差数列的特征，进而求得Sn，再得an.高考调研第36页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】∵当n≥2，n∈N*时an＝Sn－Sn－1，∴Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0，即1Sn－1Sn－1＝2.∴数列1Sn是公差为2的等差数列．又S1＝a1＝12，∴1S1＝2，∴1Sn＝2＋(n－1)·2＝2n.∴Sn＝12n.高考调研第37页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习∴当n≥2，n∈N*时，an＝－2SnSn－1＝－2·12n·12n－1＝－12nn－1.∴an＝12n＝1，－12nn－1n≥2，n∈N*.【答案】an＝12n＝1，－12nn－1n≥2，n∈N*高考调研第38页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习例3(1)在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2015等于________．【解析】方法一：由a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….由此可得a2015＝a335×6＋5＝a5＝－5.方法二：an＋2＝an＋1－an，an＋3＝an＋2－an＋1，两式相加可得an＋3＝－an，an＋6＝an.∴a2015＝a335×6＋5＝a5＝－5.【答案】－5题型三数列的周期性高考调研第39页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习(2)数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an≤12，2an－1，12an1，a1＝35，则数列的第2013项为________．高考调研第40页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】∵a1＝35，∴a2＝2a1－1＝15.∴a3＝2a2＝25.∴a4＝2a3＝45.∴a5＝2a4－1＝35，a6＝2a5－1＝15，….∴该数列周期为T＝4.∴a2013＝a1＝35.【答案】35高考调研第41页第六章数列新课标版·数学（理）·高三总复习探究3数列的周期性是数列的函数性质之一，其解法往往是依题意列出数列的前若干项，从而发现规律找到周期．高考调研第42页第