教辅：新课标版数学（理）高三总复习之第7章单元测试卷

第七章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．函数f(x)＝2x＋12x2－x－1的定义域是()A.xx≠－12B.xx－12C.xx≠－12且x≠1D.xx－12且x≠1答案D解析由题意，得2x＋1≥0，2x2－x－1≠0，解此不等式组，得xx－12且x≠1.故选D.2．已知c0，则下列不等式中成立的是()A．c2cB．c(12)cC．2c(12)cD．2c(12)c答案D3．已知f(x)＝x＋bx在(1，e)上为单调函数，则实数b的取值范围是()A．(－∞，1]∪[e2，＋∞)B．(－∞，0]∪[e2，＋∞)C．(－∞，e2]D．[1，e2]答案A解析b≤0时，f(x)在(1，e)上为增函数，b0时，当x0时，x＋bx≥2b，当且仅当x＝bx即x＝b取等号．若使f(x)在(1，e)上为单调函数，则b≤1或b≥e，∴0b≤1或b≥e2.综上b的取值范围是b≤1或b≥e2，故选A.4．函数y＝log2(x＋1x－1＋5)(x1)的最小值为()A．－3B．3C．4D．－4答案B解析x＋1x－1＋5＝(x－1)＋1x－1＋6≥2x－1·1x－1＋6＝2＋6＝8，当且仅当x－1＝1x－1即x＝2时取“＝”号．∴y＝log2(x＋1x－1＋5)≥log28＝3.5．设x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≤3，x≥0，y≥0，则z＝x－2y的取值范围为()A．[0,3]B．[－3,3]C．[－3,0]D．[1,3]答案B解析依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC，显然，当直线y＝12x－z2过点A(1,2)时，z取得最小值为－3；当直线过点B(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为[－3,3]．6．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6答案C解析∵x＋3y＝5xy，∴15y＋35x＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)×1＝(3x＋4y)(15y＋35x)＝3x5y＋95＋45＋12y5x≥135＋23x5y·12y5x＝5，当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝1，y＝12时等号成立．7．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则不等式f(x2－1)0的解集为()A．(－1,0)B．(－2，0)∪(0，2)C．(0,2)D．(1,2)答案B解析根据f(x)是偶函数，可得f(x)＝f(|x|)＝|x|－1.因此f(x2－1)＝|x2－1|－1.解不等式|x2－1|－10，得0x22，因此x∈(－2，0)∪(0，2)．8．若实数x，y满足x－y＋1≥0，x＋y≥0，x≤0，则z＝3x＋2y的最小值是()A．0B．1C.3D．9答案B解析可行域如图所示，可知B(0,1)，O(0,0)．由x－y＋1＝0，x＋y＝0，得A(－12，12)．显然当目标函数t＝x＋2y过点O时取得最小值为0，故z＝3x＋2y的最小值为1.9．已知整数的数对列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是()A．(3,8)B．(4,7)C．(4,8)D．(5,7)答案D解析观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依此类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由nn＋12＝60⇒n(n＋1)＝120，n∈Z，n＝10时，nn＋12＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60个数对是(5,7)．10．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72015的末位数字是()A．1B．3C．7D．9答案B解析规律：71的末位为7,72末位为9,73的末位为3,74末位为1,75的末位为7，…，末位为7,9,3,1,7,9,3,1，…，而2015＝4×503＋3，∴72015的末位是3.11．设a，b，c为△ABC的三边，则()A．a2＋b2＋c2a＋b＋cB．a2＋b2＋c2ab＋bc＋acC．a2＋b2＋c22(ab＋bc＋ac)D．a2＋b2＋c22(ab＋bc＋ac)答案C解析c2＝a2＋b2－2abcosC，b2＝a2＋c2－2accosB，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a2＋b2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)－2(abcosC＋accosB＋bccosA)．∴a2＋b2＋c2＝2(abcosC＋accosB＋bccosA)2(ab＋bc＋ac)．12.如图所示，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a米(0a12)，4米，不考虑树的粗细．现在想用16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S平方米，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花圃内，则函数u＝f(a)的图像大致是()答案C解析设AD＝x，S＝x(16－x)≤(x＋16－x2)2＝64.当且仅当x＝8时成立．∵树围在花圃内，∴0a≤8时，x＝8能满足条件，即f(a)＝64.当8a12时，S＝x(16－x)最大值为a(16－a)．∴f(a)＝64，0a≤8，a16－a，8a12，选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知正实数x，y满足xy＝1，则(xy＋y)(yx＋x)的最小值为________．答案4解析依题意知，(xy＋y)(yx＋x)＝1＋y2x＋x2y＋1≥2＋2y2x×x2y＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号．14．已知cosπ3＝12；cosπ5cos2π5＝14；cosπ7cos2π7cos3π7＝18；……根据以上等式，可猜想出的一般结论是________．答案cosπ2n＋1cos2π2n＋1·…·cosnπ2n＋1＝12n，n∈N*解析从已知等式的左边来看，余弦的个数从1逐个增加，分子上从π开始也是逐个增加，分母分别是3,5,7，…，可以看出分母的通项为2n＋1，等式的右边是通项为12n的等比数列，由以上分析可以猜想出的结论为cosπ2n＋1cos2π2n＋1·…·cosnπ2n＋1＝12n，n∈N*.15．当实数x，y满足不等式组x≥0，y≥0，2x＋y≤2时，恒有ax＋y≤3成立，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，3]解析画出可行域，如图中阴影部分所示．要使ax＋y≤3恒成立，即可行域必须在直线ax＋y－3＝0的下方，故分三种情况进行讨论：①当a0且3a≥1，即0a≤3时，恒有ax＋y≤3成立；②当a＝0时，y≤3成立；③当a0时，恒有ax＋y≤3成立．综上可知，a≤3.16．从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．答案12解析设两个正方形边长分别为a，b，则由题可得a＋b＝1，且13≤a，b≤23，S＝a2＋b2≥2×(a＋b2)2＝12，当且仅当a＝b＝12时取等号．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知不等式kx2－2x＋6k0(k≠0)．(1)若不等式的解集为{x|x－3或x－2}，求实数k的值；(2)若不等式的解集为∅，求实数k的取值范围．答案(1)－25(2)[66，＋∞)解析(1)∵不等式的解集为{x|x－3或x－2}，∴k0且x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根．∴x1x2＝6，x1＋x2＝2k＝－5.∴k＝－25.(2)由于k≠0，要使不等式的解集为∅，只需k0，Δ≤0，即k0，1－6k2≤0，解得k≥66，即k的取值范围是[66，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知x，y，z0，x＋y＋z＝3.(1)求1x＋1y＋1z的最小值；(2)证明：3≤x2＋y2＋z29.答案(1)3(2)略解析(1)1x＋1y＋1z＝13(x＋y＋z)(1x＋1y＋1z)＝13(1＋xy＋xz＋yx＋1＋yz＋zx＋zy＋1)＝13[3＋(xy＋yx)＋(xz＋zx)＋(yz＋zy)]≥13[3＋2xy·yx＋2xz·zx＋2yz·zy]＝3.所以1x＋1y＋1z最小值为3.(2)9＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz≤3(x2＋y2＋z2)，∴x2＋y2＋z2≥3.又∵x，y，z0，∴xy＋xz＋yz0.∴x2＋y2＋z2＝9－2(xy＋xz＋yz)9.∴3≤x2＋y2＋z29.19．(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a21＋a22≥12.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a21＋a22)≤0，从而得a21＋a22≥12.(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．答案(1)a21＋a22＋…＋a2n≥1n(2)略解析(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，求证：a21＋a22＋…＋a2n≥1n.(2)构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a21＋a22＋…＋a2n＝nx2－2x＋a21＋a22＋…＋a2n，因为对一切x∈R，都有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a21＋a22＋…＋a2n)≤0，从而证得：a21＋a22＋…＋a2n≥1n.20．(本小题满分12分)某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A，B，该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查得到的有关数据如下表：每件A产品每件B产品研制成本、搭载试验费用之和(万元)2030产品重量(千克)105预计收益(万元)8060已知研究成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元，最大搭载重量为110千克，则如何安排这两种产品进行搭载，才能使总预计收益达到最大，求最大预计收益是多少．答案960万元解析设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z＝80x＋60y，由题意知，20x＋30y≤300，10x＋5y≤110，x∈N，y∈N，作出可行域如图所示．作出直线l：80x＋60y＝0并平移，由图形知，当直线经过点M时，z取到最大值．由20x＋30y＝300，10x＋5y＝110，解得x＝9，y＝4，即M(9,4)．所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)，所以搭载9件A产品，4件B产品，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为960万元．21．(本小题满分12分)设a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋2＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．答案(1)a2＝2，a3＝2＋1，an＝n－1＋1(2)存在c＝14解析(1)方法一：a2＝2，a3＝2＋1，再由题设条件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列．故(an－1)2＝n－1，即an＝n－1＋1(n∈N*)．方法二：a2＝2，a3＝2＋1，可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想a