教辅：新课标版数学（理）高三总复习之第7-6不等式及推理与证明

高考调研第1页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习第七章不等式及推理与证明高考调研第2页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习第6课时直接证明与间接证明高考调研第3页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．高考调研第4页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习请注意不等式的证明是高考的一个重要内容，也是一类难点．一方面是证明的方法灵活多样，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点．另一方面是知识的交汇与解题能力的综合，传统的纯不等式的证明问题很少在高考中出现，但是与三角函数、数列、导数等知识的综合命题却显得非常活跃，对考生综合运用知识和逻辑推理能力有较高的要求．高考调研第5页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐课外阅读题组层级快练高考调研第6页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习1．综合法一般地，利用___________________________________，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：已知条件和某些数学定义、公理、定理等推理论证高考调研第8页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习2．分析法一般地，从要出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明的方法叫做分析法．用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：证明的结论充分条件高考调研第9页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习3．反证法一般地，假设，经过正确的推理，最后得出，因此说明，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．原命题不成立矛盾假设错误高考调研第10页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习1．用分析法证明：欲使①AB，只需②CD，这里①是②的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．高考调研第11页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习2．(课本改编题)用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________．答案a，b都不能被5整除高考调研第12页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习3．设p＝2x4＋1，q＝2x3＋x2，x∈R，则p与q的大小关系是________．答案p≥q解析∵p－q＝2x4－2x3－x2＋1＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)≥0，∴p≥q.高考调研第13页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b2；②a2＋b22.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填上序号)答案①解析取a＝－2，b＝－1，则a2＋b22，从而②推不出．①能够推出，即若a＋b2，则a，b中至少有一个大于1.用反证法证明如下：假设a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b2矛盾．因此假设不成立，所以a，b中至少有一个大于1.高考调研第14页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第15页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习题型一综合法例1(2014·新课标全国Ⅰ文)设函数f(x)＝alnx＋1－a2x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)aa－1，求a的取值范围．高考调研第16页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【思路】(1)利用导数的几何意义求解参数的值；(2)利用分类讨论的思想转化求解．【解析】(1)f′(x)＝ax＋(1－a)x－b.由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.高考调研第17页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝alnx＋1－a2x2－x，f′(x)＝ax＋(1－a)x－1＝1－ax(x－a1－a)(x－1)．①若a≤12，则a1－a≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x0≥1，使得f(x0)aa－1的充要条件为f(1)aa－1，即1－a2－1aa－1，解得－2－1a2－1.高考调研第18页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习②若12a1，则a1－a1，故当x∈(1，a1－a)时，f′(x)0；当x∈(a1－a，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(1，a1－a)上单调递减，在(a1－a，＋∞)上单调递增．所以，存在x0≥1，使得f(x0)aa－1的充要条件为f(a1－a)aa－1.而f(a1－a)＝alna1－a＋a221－a＋aa－1aa－1，所以不合题意．高考调研第19页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习③若a1，则f(1)＝1－a2－1＝－a－12aa－1.综上，a的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．【答案】(1)(2)(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)高考调研第20页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习探究1综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法，因此要保证前提条件正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的正确性．综合法是直接证明中最常用的表述方法．高考调研第21页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习思考题1已知函数f(x)＝alnxx＋1＋bx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.(1)求a，b的值；(2)证明：当x0，且x≠1时，f(x)lnxx－1.高考调研第22页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)f′(x)＝ax＋1x－lnxx＋12－bx2.由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故f1＝1，f′1＝－12，即b＝1，a2－b＝－12.解得a＝1，b＝1.高考调研第23页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(2)由(1)知f(x)＝lnxx＋1＋1x，所以f(x)－lnxx－1＝11－x2(2lnx－x2－1x)．考虑函数h(x)＝2lnx－x2－1x(x0)，则h′(x)＝2x－2x2－x2－1x2＝－x－12x2.高考调研第24页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)a＝1，b＝1(2)略所以当x≠1时，h′(x)0.而h(1)＝0，故当x∈(0,1)时，h(x)0，可得11－x2h(x)0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)0，可得11－x2h(x)0.从而当x0，且x≠1时，f(x)－lnxx－10，即f(x)lnxx－1.高考调研第25页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习题型二分析法例2已知a0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.【思路】当所给的条件简单，所证的结论复杂的，一般采用分析法．高考调研第26页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【证明】要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只要证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.∵a0，故只要证(a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2.高考调研第27页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习从而只要证2a2＋1a2≥2(a＋1a)．只要证4(a2＋1a2)≥2(a2＋2＋1a2)，即a2＋1a2≥2，而该不等式显然成立．故原不等式成立．【答案】略高考调研第28页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习探究2分析法是数学中常用到的一种直接证明方法，就证明程序来讲，它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法．具体地说，即先假设所要证明的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题或是要证命题的已知条件时则所证命题得证．高考调研第29页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2若a，b，c是不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc.【解析】方法一：(分析法)lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc⇐lg(a＋b2·b＋c2·c＋a2)lgabc⇐a＋b2·b＋c2·c＋a2abc.因为a，b，c是不全相等的正数，所以显然有a＋b2·b＋c2·c＋a2abc成立，原不等式得证．高考调研第30页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：(综合法)因为a，b，c∈R＋，所以a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，a＋c2≥ac0.又因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中等号不能同时成立，即a＋b2·b＋c2·c＋a2abc成立．高考调研第31页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习上式两边同取常用对数，得lg(a＋b2·b＋c2·c＋a2)lgabc，即lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2lga＋lgb＋lgc.【答案】略高考调研第32页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习例3(2013·陕西理)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．【解析】(1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②题型三反证法高考调研第33页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn.∴Sn＝a11－qn1－q.∴Sn＝na1，q＝1，a11－qn1－q，q≠1.高考调研第34页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，∴(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)．∴a2k＋1＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1.∴a21q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0.∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．【答案】略高考调研第35页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习探究3(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法求证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．(2)利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾