教辅-高考数学大二轮专题复习：常考小题的几种类型之不等式

专题一常考小题的几种类型第二编讲专题第3讲不等式「考情研析」1.利用不等式性质比较大小、利用基本不等式求最值是高考的热点．2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数的取值范围．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为)；二判(判断)；三解(解)；四写().2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是，．(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的条件是，．□01正数□02Δ的符号□03对应的一元二次方程□04大于取两边，小于取中间□01a＞0□02Δ＜0□03a＜0□04Δ＜0核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．分式不等式f（x）g（x）＞0(＜0)⇔；f（x）g（x）≥0(≤0)⇔，．□01f(x)g(x)＞0(＜0)□02f（x）g（x）≥0（≤0）□03g（x）≠0核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业4．基本不等式(1)a＋b2≥(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当时取等号．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．□01ab□02a＝b2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1不等式的性质及解法例1(1)(多选)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是()核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业A．若ab≠0且ab，则1a1bB．若0a1，则a3aC．若ab0，则b＋1a＋1baD．若cba且ac0，则cb2ab2答案BC核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析A项，取a＝－2，b＝1，则1a1b不成立．B项，若0a1，则a3－a＝a(a2－1)0，∴a3a，因此正确．C项，若ab0，则a(b＋1)－b(a＋1)＝a－b0，∴a(b＋1)b(a＋1)，∴b＋1a＋1ba，正确；D项，若cba且ac0，则a0，c0，而b可能为0，因此cb2ab2不正确．故选BC.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝7，若对于任意实数k，不等式|ka＋tb|1恒成立，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B．－∞，－33∪33，＋∞C．(3，＋∞)D．33，＋∞答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝7，∴(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝7，∴a·b＝－1，又|ka＋tb|1，∴(ka＋tb)21，即k2a2＋t2b2＋2kta·b＝k2＋4t2－2kt1对于任意实数k恒成立，∴k2－2kt＋4t2－10对于任意实数k恒成立，∴Δ＝(－2t)2－4(4t2－1)0，∴t－33或t33，故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)(2020·四川省成都模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x2－2x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为________．答案(－3，0)∪(3，＋∞)核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析设x0，则－x0，由题意可得f(－x)＝－f(x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，∴f(x)＝－x2－2x，故当x0时，f(x)＝－x2－2x.由不等式f(x)x，可得x0，x2－2xx或x0，－x2－2xx，求得x3或－3x0.即不等式f(x)x的解集为(－3，0)∪(3，＋∞).核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)利用不等式的性质解决问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．(2)一元二次不等式的常见解法是利用“三个二次”之间的关系，借助二次函数图象得到其解集．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(多选)(2020·海南省高三三模)设a，b，c为实数且ab，则下列不等式一定成立的是()A．1a1bB．2020a－b1C．lnalnbD．a(c2＋1)b(c2＋1)答案BD核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析对于A，若ab0，则1a1b，所以A错误；对于B，因为a－b0，所以2020a－b1，故B正确；对于C，函数y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，而a，b不一定是正数，所以C错误；对于D，因为c2＋10，所以a(c2＋1)b(c2＋1)，所以D正确．故选BD.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(多选)(2020·山东省淄博模拟)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为()A．10B．3C．－4.5D．－5答案BC核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析不等式[x]2＋[x]－12≤0可化为([x]＋4)([x]－3)≤0，解得－4≤[x]≤3，又[x]表示不小于实数x的最小整数，且[10]＝4，[3]＝3，[－4.5]＝－4，[－5]＝－5，所以满足不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为B，C.故选BC.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．定义：区间[a，b]，(a，b]，(a，b)，[a，b)的长度均为b－a，若不等式1x－1＋2x－2≥m(m≠0)的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为l，则()A．当m0时，l＝m2＋2m＋9mB．当m0时，l＝3mC．当m0时，l＝－m2＋2m＋9mD．当m0时，l＝－3m答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析①当m＞0时，∵1x－1＋2x－2≥m⇔mx2－（3＋3m）x＋2m＋4（x－1）（x－2）≤0，令f(x)＝mx2－(3＋3m)x＋2m＋4＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则m（x－x1）（x－x2）（x－1）（x－2）≤0，且x1＋x2＝3＋3mm＝3＋3m.∵f(1)＝m－3－3m＋2m＋4＝1＞0，f(2)＝4m－6－6m＋2m＋4＝－2＜0，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业∴1＜x1＜2＜x2，∴不等式的解集为(1，x1]∪(2，x2]，∴l＝x1－1＋x2－2＝x1＋x2－3＝3＋3m－3＝3m.②当m0时，由(1)知f(1)0，f(2)0，可得x11x22.∴不等式的解集为(－∞，x1]∪(1，x2]∪(2，＋∞).∴解集中所有区间的长度之和无穷大．综上，故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2基本不等式的应用例2(1)(2020·四川省内江市、广安市等九市二诊)在△ABC中，点P为BC的中点，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若AM→＝λAB→，AN→＝μAC→(λ0，μ0)，则λ＋μ的最小值为()A．54B．2C．3D．72答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析如图，连接AP，∵P为BC的中点，AM→＝λAB→，AN→＝μAC→，且λ0，μ0，∴AP→＝12AB→＋12AC→＝12λAM→＋12μAN→，且M，P，N三点共线，∴12λ＋12μ＝1，∴λ＋μ＝(λ＋μ)12λ＋12μ＝12＋λ2μ＋μ2λ＋12≥1＋2λ2μ·μ2λ＝2，当且仅当λ2μ＝μ2λ，即λ＝μ＝1时取等号，∴λ＋μ的最小值为2.故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)若曲线y＝x3－2x2＋2在点A处的切线方程为y＝4x－6，且点A在直线mx＋ny－1＝0(其中m0，n0)上，则1m＋2n的最小值为()A．42B．3＋22C．6＋42D．82答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析设A(x0，y0)，则y′＝3x2－4x⇒3x20－4x0＝4，∴x0＝2或x0＝－23，分别将x0的值代入方程y＝x3－2x2＋2，得x0＝2，y0＝2或x0＝－23，y0＝2227．因为A(x0，y0)在y＝4x－6上，所以x0＝2，y0＝2，即2m＋2n－1＝0，m＋n＝12，从而1m＋2n＝21m＋2n(m＋n)＝23＋nm＋2mn≥23＋2nm·2mn＝6＋42，当且仅当n＝2m，即m＝2－12，n＝2－22时取等号，即1m＋2n的最小值为6＋42，故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)(2020·江苏省七市高三第三次调研)已知x1，y1，xy＝10，则1lgx＋4lgy的最小值是________．答案9解析因为x1，y1，xy＝10，所以lgx＋lgy＝1，则1lgx＋4lgy＝1lgx＋4lgy(lgx＋lgy)＝5＋lgylgx＋4lgxlgy≥5＋2lgylgx·4lgxlgy＝9，当且仅当lgylgx＝4lgxlgy，即lgy＝2lgx且xy＝10，即x＝310，y＝3100时取等号．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值．(2)有些题目并不满足直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式，常用方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．设x＞0，y＞0，且2x＋y＝6，则9x＋3y有()A．最大值27B．最小值27C．最大值54D．最小值54答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析因为x＞0，y＞0，且2x＋y＝6，所以9x＋3y≥29x·3y＝232x＋y＝236＝54，当且仅当x＝32，y＝3时，9x＋3y有最小值54.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·湖南省郴州市高三一模)已知函数f(x)＝x＋sinx，若正实数a，b满足f1a＋f2b－1＝0，则3aa－1＋4bb－2的最小值为()A．7B．7＋43C．5＋43D．7＋23答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵f(x)＝x＋sinx，∴f(－x)＝－x－sinx＝－f(x)，即f(x)＋f(－x)＝0，∵正实数a，b满足f1a＋f2b－1＝0，∴1a＋2b＝1，∴b＝2aa－10，∴a1，则3aa－1＋4bb－2＝7＋3a－1＋8b－2＝7＋3a－1＋82aa－1－2＝7＋3a－1＋4(a－1)≥7＋43，当且仅当4(a－1)＝3a－1，即a＝1＋32时取等号，所以3aa－1＋4bb－2的最小值为7＋43.故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．(2020·山东威海模拟)若∀x∈(0，＋∞)，4x2＋1x≥m，则实数m的取值范围为__________．答案(－∞，4]解析因为x0，则4x2＋1x＝4x＋1x≥24x·1x＝4，当且仅当4x＝1x，即x＝12时取等号，因为4x2＋1x≥m，所以4≥m，即实数m的取值范围为(－∞，4].3真题VS押题PARTTHREE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业『真题检验』1．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知a0，b0，且a＋b＝1，则()A．a2＋b2≥12B．2a－b12C．log2a＋log2b≥－2D．a＋b≤2答案