教辅-高考数学大二轮专题复习：常考小题的几种类型之复数与平面向量

专题一常考小题的几种类型第二编讲专题第2讲复数与平面向量「考情研析」1.复数是高考必考内容，主要考查复数的概念与四则运算．多为选择题、填空题，难度为中低档．2．高考对平面向量的考查主要有三个方面：①考查平面向量的基本定理及基本运算，多以考生熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档；②考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；③向量作为工具，还可能与三角函数、解三角形、不等式等知识结合考查．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.复数(1)复数的有关概念核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)运算法则加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝．乘法：(a＋bi)(c＋di)＝．除法：a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）c2＋d2＝．□06(a±c)＋(b±d)i□07(ac－bd)＋(ad＋bc)i□08（ac＋bd）＋（bc－ad）ic2＋d2核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．平面向量的数量积(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝．(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝．3．两个非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔⇔．(2)a⊥b⇔⇔．□01|a||b|·cosθ□02x1x2＋y1y2□01a＝λb(b≠0)□02x1y2－x2y1＝0□03a·b＝0□04x1x2＋y1y2＝0核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业4．利用数量积求长度(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝．5．利用数量积求夹角若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝．□01a·a□02x2＋y2□03（x2－x1）2＋（y2－y1）2□01a·b|a||b|□02x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业6．三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△ABC的外心⇔．(2)O为△ABC的重心⇔．(3)O为△ABC的垂心⇔．(4)O为△ABC的内心⇔．□01|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝a2sinA□02OA→＋OB→＋OC→＝0□03OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→□04aOA→＋bOB→＋cOC→＝02热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1复数的概念及运算例1(1)(2020·山东省淄博市高三一模)复数(a－i)·(2－i)的实部与虚部相等，其中i为虚数单位，则实数a＝()A．3B．－13C．－12D．－1答案B解析因为(a－i)(2－i)＝2a－1－(a＋2)i，若此复数的实部与虚部相等，则2a－1＝－(a＋2)，解得a＝－13.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·辽宁省渤大附中、育明高中五模)若复数a＋2i1＋i(a∈R)为纯虚数，则|3－ai|＝()A．13B．13C．10D．10答案A解析由复数的运算法则，有a＋2i1＋i＝（a＋2i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝a＋22＋2－a2i，复数a＋2i1＋i(a∈R)为纯虚数，则a＋2＝0，2－a≠0，即a＝－2，|3－ai|＝32＋a2＝13.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则z1z2＝()A．35－45iB．－35＋45iC．－35－45iD．35＋45i答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意可得，z1＝1－2i，z2＝－1－2i，则z1z2＝1－2i－1－2i＝（1－2i）（－1＋2i）（－1－2i）（－1＋2i）＝35＋45i.故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(4)若复数z满足2z－z－＝3＋12i，其中i为虚数单位，z－是z的共轭复数，则复数|z|＝()A．35B．25C．4D．5答案D解析设复数z＝a＋bi，a，b∈R.∵2z－z－＝3＋12i，∴2(a＋bi)－(a－bi)＝3＋12i，即2a－a＝3，2b＋b＝12，解得a＝3，b＝4，∴z＝3＋4i，∴|z|＝32＋42＝5.故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，即分子、分母同乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i等要熟记．(2)与复数z的模|z|和共轭复数有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，再代入条件，用待定系数法解决．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．若复数z＝21＋i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是()A．z的虚部为－iB．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为－1－i答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意得z＝21＋i＝2（1－i）（1＋i）（1－i）＝1－i.由z＝1－i得复数z的虚部为－1，所以A不正确．|z|＝|1－i|＝2，所以B不正确．由于z2＝(1－i)2＝－2i，所以z2为纯虚数，所以C正确．z＝1－i的共轭复数为z－＝1＋i，所以D不正确．故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|＝()A．1B．2C．3D．2答案A解析由题意知1＋z＝i－zi，所以z＝i－1i＋1＝（i－1）2（i＋1）（i－1）＝i，所以|z|＝1，故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3．在复平面上，设点O，A，B对应的复数分别为0，－1＋2i，－2－i，若过点O，A，B作平行四边形OACB，则点C对应的复数是()A．－4＋2iB．1－2iC．－3－iD．－3＋i答案D解析由题意，得OA→＝(－1，2)，OB→＝(－2，－1)，则OC→＝OA→＋OB→＝(－3，1)，即C(－3，1)，对应复数为－3＋i，故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2平面向量的概念及运算例2(1)(2020·黑龙江省哈尔滨模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ＝()核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业A．－2B．－1C．1D．2答案D解析根据图形可看出2a＋b＝c，满足2a＋b与c共线，∴λ＝2.故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，若ma－nb与2a＋b共线(其中m，n∈R且n≠0)，则mn＝()A．－2B．2C．－12D．12答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析因为ma－nb＝(m＋2n，2m－3n)，2a＋b＝(0，7)，ma－nb与2a＋b共线，所以m＋2n＝0，即mn＝－2.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)已知点O(0，0)，A(－1，3)，B(2，－4)，OP→＝OA→＋mAB→.若点P在y轴上，则实数m的值为()A．13B．14C．15D．16答案A解析由题意，可得OA→＝(－1，3)，AB→＝(3，－7)，所以OP→＝OA→＋mAB→＝(3m－1，3－7m)，点P在y轴上，即3m－1＝0，m＝13.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(4)(2020·东北三省三校高三第三次联合模拟)如图，在△ABC中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则PA→＋PC→＝()A．13BA→＋23BC→B．59BA→＋79BC→C．19BA→＋109BC→D．29BA→＋79BC→答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析PA→＋PC→＝BA→－BP→＋BC→－BP→＝BA→＋BC→－23BQ→＝BA→＋BC→－23(BA→＋AQ→)＝13BA→＋BC→－23×13AC→＝13BA→＋BC→－29(BC→－BA→)＝59BA→＋79BC→.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业平面向量的线性运算有几何运算和坐标运算两种形式，几何运算主要是利用三角形法则和平面向量的基本定理，坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解．解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(2020·海南省海口模拟)设向量a＝(－1，2)，向量b是与a方向相同的单位向量，则b＝()A．(1，－2)B．－55，255C．－15，25D．55，－255答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析|a|＝（－1）2＋22＝5，因为向量b是与a方向相同的单位向量，所以b＝a|a|＝－15，25＝－55，255，故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·广东省茂名二模)设a，b是不共线的两个平面向量，已知AB→＝a－2b，BC→＝3a＋kb(k∈R)，若A，B，C三点共线，则k＝()A．2B．－2C．6D．－6答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析根据题意，若A，B，C三点共线，则AB→∥BC→，又由AB→＝a－2b，BC→＝3a＋kb(k∈R)，则有k－2＝31，解得k＝－6.故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业3.如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若OC→＝mOE→＋nOF→，其中m，n∈R，则m＋n的值为()A．1B．32C．75D．73答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析在平行四边形中OA→＝BC→，OB→＝AC→，OC→＝OA→＋OB→，因为E是AC的中点，所以AE→＝12AC→＝12OB→，所以OE→＝OA→＋AE→＝OA→＋12OB→，因为BC＝3BF，所以BF→＝13BC→＝13OA→，所以OF→＝OB→＋BF→＝OB→＋13OA→，因为OC→＝mOE→＋nOF→，所以OC→＝m＋13nOA→＋12m＋nOB→，在▱OACB中，OC→＝OA→＋OB→，所以m＋13n＝1，12m＋n＝1，解得m＝45，n＝35，所以m＋n＝75.故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向3平面向量的数量积例3(1)(2020·山东枣庄高三模拟)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围为()A．(－∞，3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－3)D．(－3，＋∞)答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c0，即(2k－3，－6)·(2，1)0，所以4k－6－60，所以k3.故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)设a，b是夹角为60°的单位向量，则2a＋b和3a－2b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意，因为a，b是夹角为60°的单位向量，∴a·b＝|a||b|cos60°＝12，则(2a＋b)·(3a－2b)＝6a2－2b2－a·b＝6－2－12＝72，|2a＋b|＝（2a＋b）2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋2＋1＝7，|3a－2b|＝（3a－2b）2＝9a2－12a·b＋4b2＝9－12×12＋4＝13－6＝7，设2a＋b和3a－2b的夹角为α，则cosα＝（2a＋b）·（3a－2b）|2a＋b||3a－2b|＝727×7＝12，即α＝60°.故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(