教辅-高考数学大二轮专题复习：概率与统计之概率、随机变量及其分布列

专题七概率与统计第二编讲专题第3讲概率、随机变量及其分布列「考情研析」1.以选择题、填空题的形式考查古典概型的基本应用．2.考查条件概率、相互独立事件的概率及独立重复试验的概率．3.以实际问题为背景，多与统计结合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1.概率的计算公式(1)古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.(2)互斥事件的概率计算公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝．(3)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝．□01P(A)＋P(B)□021－P(B)核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．离散型随机变量(1)离散型随机变量分布列的性质①pi0，i＝1，2，…，n.②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝．(2)数学期望公式E(X)＝．(3)方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn，标准差为D（X）.□01≥□021□03x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(4)数学期望与方差的性质①E(aX＋b)＝(a，b为常数).②D(aX＋b)＝(a，b为常数).③若X服从两点分布，则E(X)＝，D(X)＝．④若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝．(5)独立事件同时发生的概率计算公式P(AB)＝，独立重复试验的概率计算公式Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，条件概率公式P(B|A)＝．□04aE(X)＋b□05a2D(X)□06p□07p(1－p)□08np□09np(1－p)□10P(A)P(B)□11P（AB）P（A）核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(6)正态分布的定义及表示如果随机变量X服从正态分布，记作．满足正态分布的三个常用数据：①P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.9974.□12X～N(μ，σ2)2热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1古典概型例1(1)在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为()A．956B．928C．914D．59答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析分析可知，要满足题意，则抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P＝C24C23C58＝928.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·山东省烟台市模拟)窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形P1P2…P8的中心，P1P8⊥x轴，现用如下方法等可能地确定点M，点M满足2OM→＋OPi→＋OPj→＝0(其中1≤i，j≤8，且i，j∈N*，i≠j)，则点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为()A.35B．37C．38D．27答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析因为确定一个OM→需从8个向量OPi→(1≤i≤8)中任取两个有C28＝28种取法，用列举法得使点M(异于点O)落在坐标轴上的取法中与OP1→结合的有OP4→，OP8→两个，由于每个向量都对应两个，但重复一次，所以共有8×22＝8种，则点M落在坐标轴上的概率为828＝27，故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业利用古典概型求概率的关键及注意点(1)关键：正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识．(2)注意点：对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(2020·山东省临沂市一模)三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游．如果三人均等可能地前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是．答案19解析∵三人均等可能地前往三个城市之一，∴共有33＝27种选择情况，他们选择同一个城市有3种情况，∴所求概率为327＝19.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，则至少摸到2个黑球的概率为．答案27解析从中摸出3个球，摸到2个黑球的概率为P1＝C23C15C38，摸到3个黑球的概率为P2＝C33C38，所以至少摸到2个黑球的概率为P＝P1＋P2＝C23C15＋C33C38＝27.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2相互独立事件和独立重复试验例2(1)(2020·山东省济南市二模)5G指的是第五代移动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某公司在研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为0.5.则该公司攻克这项技术难题的概率为．答案0.8解析根据题意，得所求概率为P＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝0.8.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·河北省保定市一模)抛掷一枚质地均匀的硬币，记an＝1，第n次正面向上，－1，第n次反面向上．Sn为数列{an}的前n项和，则|S3|＝1且S10＝4的概率为．答案21256核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意知，满足|S3|＝1且S10＝4有如下两种情况：①前3次中出现2次正面向上1次反面向上，此时S3＝1，后面7次中出现5次正面向上2次反面向上，其概率为P1＝C23122×121×C57125×122＝631024；②前3次中出现1次正面向上2次反面向上，此时S3＝－1，后面7次中出现6次正面向上1次反面向上，其概率为P2＝C13121×122×C67126×121＝211024.所以|S3|＝1且S10＝4的概率为P1＋P2＝631024＋211024＝21256.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业求复杂事件概率的方法及注意点(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解.(2)间接法：当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．(3)注意点：独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(2020·山东省济宁市模拟)已知n是一个三位正整数，若n的十位数字大于个位数字，百位数字大于十位数字，则称n为三位递增数．已知a，b，c∈{0，1，2，3，4}，设事件A为“由a，b，c组成三位正整数”，事件B为“由a，b，c组成三位正整数为递增数”，则P(B|A)＝()A．35B．110C．225D．1225答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析先计算组成的所有三位正整数的个数，有C14C15C15＝100个，即n(A)＝100个，再计算递增数的个数，共有C35＝10个，即n(AB)＝10个．故P(B|A)＝n（AB）n（A）＝110.故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．(2020·广东省广州市二模)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制(无平局)，甲在每局比赛中获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为()A．13B．25C．23D．45答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意，甲获得冠军的概率为23×23＋23×13×23＋13×23×23＝2027，其中比赛进行了3局的概率为23×13×23＋13×23×23＝827，所以所求概率为827÷2027＝25，故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向3例3(2020·山东省威海市二模)携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并享受其提供的各种服务.2019年11月27日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动．某运营商为提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务水平的满意率为1315，服务水平的满意率为23，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(1)完成2×2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关；核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解(1)由题意，知对业务水平满意的有260人，对服务水平不满意的有100人，根据题意，填写2×2列联表如下：核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业由公式，得K2＝300×（180×20－80×20）2260×40×200×100＝7513≈5.769＞5.024，所以有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见，用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望；解(2)由题意，知随机变量X的可能取值分别为0，1，2；计算P(X＝0)＝C020C280C2100＝316495，P(X＝1)＝C120C180C2100＝160495＝3299，P(X＝2)＝C220C2100＝19495，核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业所以X的分布列为X012P316495329919495X的期望为E(X)＝0×316495＋1×3299＋2×19495＝25.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为34%，对两项都不满意的客户流失率为85%，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多少？附：P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），n＝a＋b＋c＋d.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解(3)在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为180300×5%＝9300，只对一项满意的客户流失的概率为100300×34%＝34300，对两项都不满意的客户流失的概率为20300×85%＝17300，所以从该运营系统中任选一名客户流失的概率为9＋34＋17300＝15，所以业务服务协议终止时，从该运营系统中任选4名客户，至少有2名客户流失的概率为P＝1－C04×1－154－C14×15×1－153＝113625.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解决随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量的均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列．若随机变量服从特殊分布，则可直接使用公式求解．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2020·河北省保定市一模)习近平总书记在2020年元旦贺词中勉励大家：“