教辅-高考数学大二轮专题复习：概率与统计之规范答题系列六

专题七概率与统计第二编讲专题规范答题系列六概率与统计类解答题(12分)某校高三年级有500名学生，一次考试的英语成绩服从正态分布N(100，17.52)，数学成绩的频率分布直方图如下：(1)如果成绩高于135分的为特别优秀，则本次考试英语、数学成绩特别优秀的学生大约各多少人？解(1)因为英语成绩服从正态分布N(100，17.52)，所以英语成绩特别优秀的概率P1＝P(X≥135)＝(1－0.96)×12＝0.02，(2分)由频率估计概率，得数学成绩特别优秀的概率P2＝0.0016×20×34＝0.024，所以英语成绩特别优秀的学生大约有500×0.02＝10人，数学成绩特别优秀的学生大约有500×0.024＝12人．(4分)(2)试问本次考试英语和数学的平均成绩哪个较高，并说明理由；解(2)本次考试英语的平均成绩为100分，数学的平均成绩为60×0.16＋80×0.168＋100×0.48＋120×0.16＋140×0.032＝94.72分，因为94.72100，所以本次考试英语的平均成绩较高．(6分)(3)如果英语和数学两科成绩都特别优秀的共有6人，从(1)中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科成绩都特别优秀的有ξ人，求ξ的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.68，P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝0.96，P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝0.99.解题思路第(1)问，根据正态分布及频率分布直方图可以得出英语成绩和数学成绩特别优秀的概率，从而求得结果；第(2)问，根据正态分布可得英语的平均成绩，根据频率分布直方图可得数学的平均成绩，即可得结论；第(3)问，写出ξ的所有可能取值，分别计算其概率，写出分布列，计算数学期望即可．解(3)英语和数学成绩都特别优秀的有6人，则单科成绩特别优秀的有10人，ξ可取的值有0，1，2，3，(7分)所以P(ξ＝0)＝C310C316＝314，P(ξ＝1)＝C210C16C316＝2756，P(ξ＝2)＝C110C26C316＝1556，P(ξ＝3)＝C36C316＝128，(9分)故ξ的分布列为ξ0123P31427561556128(10分)E(ξ)＝0×314＋1×2756＋2×1556＋3×128＝98.或因为ξ服从超几何分布，所以E(ξ)＝3×616＝98.(12分)1．根据正态分布计算出英语成绩特别优秀的学生人数给2分.2．根据频率分布直方图计算出数学成绩特别优秀的学生人数给2分．3．计算出数学的平均成绩，并与英语平均成绩相比较给2分．4．正确写出ξ的所有可能取值给1分．5．求出随机变量对应的概率值给2分，每个0.5分．6．写出随机变量的分布列给1分．7．根据公式求出数学期望值给2分．1．求解正态分布问题的关键：一是μ，σ2所反映的变量的特征，二是正态曲线的对称性．2．由频率分布直方图求解数值时，要注意纵轴表示的是频率/组距．3．求分布列要先确定离散型随机变量的可能取值，然后分别求出每个取值对应事件的概率，最后列出分布列的表格，切忌直接列出分布列，痛失步骤分．[跟踪训练](2020·河北省张家口高三5月模拟)(12分)2019年第十三届女排世界杯共12支参赛球队，比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下(比赛采取5局3胜制)：比赛中以3－0或3－1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3－2取胜的球队积2分，负队积1分.9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分．第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0p1).(1)第10轮比赛中，记中国队3－1取胜的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；解(1)f(p)＝C23p3(1－p)＝3p3(1－p).(1分)因此，f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3(－1)]＝3p2(3－4p).(2分)令f′(p)＝0，得p＝34，当p∈0，34时，f′(p)0，f(p)在0，34上为增函数；当p∈34，1时，f′(p)0，f(p)在34，1上为减函数.(4分)所以f(p)的最大值点p0＝34.(5分)(2)以(1)中的p0作为p的值．①在第10轮比赛中，中国队所得积分为ξ，求ξ的分布列；②如果第10轮中国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．解(2)由(1)知p＝34.①ξ的可能取值为3，2，1，0.P(ξ＝3)＝343＋C233431－34＝189256，(6分)P(ξ＝2)＝C243431－342＝81512，(7分)P(ξ＝1)＝C241－343342＝27512，(8分)P(ξ＝0)＝1－343＋C231－343×34＝13256.(9分)所以ξ的分布列为ξ3210P189256815122751213256(10分)②若ξ＝3，则中国队10轮后的总积分为29分，美国队即便第10轮和第11轮都积3分，则11轮过后的总积分是28分，因为2928，所以中国队如果第10轮积3分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为P＝P(ξ＝3)＝189256.(12分)本课结束