物理奥赛辅导---狭义相对论基础

狭义相对论基础一、知识点击1．力学相对性原理和伽利略变换如图12一1，S系静止，S系相对S系平动，对应轴互相平行，0tt时，两坐标系原点重合，t时刻在两参考系中观察同一事物。我们有0rrrtt00aaa若S系相对S系做匀速直线运动，S系也是惯性参考系，00a，则有aa又在两系中有FFmm因为Fma力学现象对一切惯性系来说，都要遵从同样的规律．这是力学相对性原理，研究力学规律时，一切惯性系都是等价的，我们不能在一惯性系中做力学实验来判定这个惯性系是静止还是做匀速直线运动．若S'系仅沿着S系x轴作匀速直线运动，其速度为u，则我们有xxutxxutyy或yyzzzztttt这就是伽利略变换．它描绘了同一事物在两个不同参考系观察时的时空关系．实际物体的低速运动都满足伽利略变换．2．爱因斯坦假设洛伦兹变换⑴爱因斯坦假设：力学现象满足伽利略变换，但电磁现象、特别是光现象呢？当时人们把机械波必须在媒质中才能传播的思想引进光现象中，认为光只在以太中才能传播，光相对以太速度为c，并且沿各个方向相同。伽利略变换已经不能解释，为此爱因斯坦提出了两条基本原理：相对性原理：物理学定律在所有惯性系中都是相同的。光速不变原理：在所有惯性系中，自由空间中的光速具有相同的量值C。以这两个原理为依据，可得到的坐标变换关系——洛伦兹变换()xyxut()xyxutyy或yyzzzz2()utytxc2()utytxc式中2211yuc相应的速度变换关系为21xxxuuc21xxxuuc21yyyuuc或21yyyuuc21zzzuuc21zzzuuc3．长度收缩时间膨胀一刚性直尺沿x轴放置并随S系运动，S系中测得尺长021lxx，S系观察者观察到尺在运动，必须同时记下尺的两端的坐标1x和2x，测得21lxx，利用洛伦兹变换可得2021ullc，相对物体为静止的惯性系中测得物体长度是最长的，称为物体的固有长度。运动的物体在运动的方向上收缩。现分别在S和S系中观察两个事件的时间间隔t和t的关系。在S系中，两事件发生在同一地点，其时间间隔2ttt，S系观察两事件发生在不同地点，时间间隔t，由洛伦兹变换可得221ttuc。同一地点发生两事件的时间间隔最小，称为固有时间，即运动的钟变慢了，从其他电像有相对运动的惯性系测量的两事件时间间隔都延长了．4．相对论力学相对论中，动量形式上仍可写为Pm，但质量已不是一个恒量，而是随物体运动速度不同而发生变化。0221mmc，0m为物体静止时的质量，于是：0221mPmc。这样得到的动量守恒定律是满足洛伦兹变换的．很明显，当c时，它回原为经典力学中的形式．相对论中运动物体的总能量表示为220221mcEmcc，物体静止时的能量称为物体的静能200Emc。那么物体的动能就为总能与静能之差：220kEmcmc。当物体质量发生变化时，物体能量也要发生变化，那就有2Emc。相对论中动量和能量之间的一个重要关系式22220EEPc，对应相对论中的质量和动量，相对论动力学的基本方程可写成()mFt，应注意的是，这时m也是的函数．二、方法演练类型一、利用爱因斯坦原理推导洛伦兹变换的问题。例1．试推导洛伦兹坐标变换。分析和解：如图12—2，对参考系S和S'，在t=t'=0时，O'和O重合。考虑到同一事件在S和S'系中观察，其结果必须一一对应，这就要求变换关系呈线性。否则，在一惯性系中某时空出现的一事件，在另一惯性系中，这一事件将在几个不同时空出现，违反S、S'系的等价性及时空的均匀性。设想（x，t)与（x'，t'）之间的变换形式为()xkxt①k是与x'，t'无关而与有关的恒量，其值应根据爱因斯坦的狭义相对论的两个基本原则来确定。根据狭义相对论的相对性原理，惯性系S'和S的物理方程应有同样的形式，所以，逆变换应为()xkxt②括号中前面的负号只表示S系相对S'系的速度沿x轴的负方向。设想S和S'系坐标原点重合时，从原点发出一个沿x轴方向传播的光脉冲，按光速不变原理，对S和S'系的观察者来说，光速都是c，光脉冲波前所在点的空间坐标，对S系为xct，对S'系为xct将上述两式分别代人式①和式②得()()ctkcttkct()()ctkcttkct上列两式相乘得22()()cttkttcc由此得22211()ckcc由此①、②两式即可写成21()xtxc；21()xtxc从这两个式子中消去x'或x，便可得到时间的变换式。若消去x'得221()1()xtxtcc由此求得t'为221()xtctc同样，消去x后求得t为221()xtctc类型二、不同参考系中的相对论时空计算的问题。例2．在h0=6000m高层大气中产生一μ子，μ子以0.998c的速率向地面飞来，静止的μ子的平均寿命为6210s，问在μ子衰变以前，能否到达地球表面？分析和解：地面上的观测者按经典理论计算，μ子走过的距离为8610.998310210598.8dtm10dh，因此，按μ子的平均寿命，它似乎不可能到达地面。实际上μ子的速率与光速c可以比拟，必须考虑相对论效应。μ子相对地面运动，在地面上的观测者看来，它的平均寿命为662221031.61010.9981()ttsc地地面上的观测者所计算的μ子可飞行的距离为8620.99831031.6109461dtm地20dh。因此，按μ子平均寿命，它能够到达地面。类型三、在不同参考系中的相对论时空计算的洛伦兹变换问题。例3．在地面上有一跑道长100m，运动员从起点跑到终点，用时10s，现从以速度0.8c向前飞行的飞船中观测：（1）跑道有多长？（2）运动员跑过的距离和所用的时间为多少？分析和解：以地面参考系为S系，飞船参考系为S'系。（1）跑道固定在S系中，原长0100lm。由于S'系相对S系高速运动，因而在S'系中观测，跑道长度为201()1000.660llmc（2）21()xtxc，221()txctc将100xm，10ts和0.8c代入以上两式，计算得89101000.8310102.4100.4100.60.6xm计算结果中的负号表示在S'系中观测，运动员是沿x'负方向后退。8820.8101010010(310)16.60.60.6ts例4．封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l处有一半径为r的圆孔，其圆心为O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出。车厢以高速沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图12一3所示。某一时刻，点光源S恰位于x轴的原点O的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点。在地面参考系中坐标为xA处放一半径为R(R＞r)的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x轴垂直。板的圆心O2、S、O1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从档板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上。由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况。不考虑光的衍射，试求：（1）车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻。（2）地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻。分析和解：（1）相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度趋向光源S运动。由S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随着离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大。若距S的距离为L处光束的横截面正好是半径为R的圆面，如图12一4所示。则有rRlL可得RlLr①设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出，当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住。此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L。在车厢参考系中，初始时根据相对论，挡板离光源的距离为21()Axc②故出现挡板完全遮住光束的时刻为21()Lct③由①、③式得21()Rlctr（2）相对于地面参考系，光源与车厢以速度向挡板运动。光源与孔之间的距离缩短为21()llc而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的距离即挡板完全遮光时距离应为21()RlRlLrrc初始时，挡板离S的距离为xA，出现挡板完全遮住光束的时刻为21()AAxLxRltrc类型四、用反证法论证相对论中的能量计算的问题。例5．试从相对论能量和动量的角度分析论证：（1）一个光子与真空中处于静止状态的自由电子碰撞时，光子的能量不可能完全被电子吸收。（2）光子射到金属表面时，其能量有可能完全被吸收并使电子逸出金属表面，产生光电效应。分析和解：（1）设电子处于静止状态时的质量为m0，光子的频率为，假定电子能完全吸收光子的能量，吸收光子后，电子以速度运动，则这一过程应遵循动量守恒定律，有021()mhcc①碰撞后系统的总能量为22021()mcEmcc②由①、②式消去，得24220Emch③碰撞前电子与光子的总能量为200Ehmc④由③、④式有222422222000020EEmchhmchmc（）（）⑤这表明，所假设的过程不符合能量守恒定律，因此这一过程实际上不可能发生。（2）束缚在金属中的电子和射入金属的光子二者构成的系统在发生光电效应的过程中动量不守恒，只需考虑能量转换问题。设电子摆脱金属的束缚而逸出，需要对它做功至少为W（逸出功），逸出金属表面后电子的速度为，入射光子的能量为h，电子的静止质量为m0，若能产生光电效应，则有220021()mchmcWc⑥逸出电子的速度一般都比光速小很多，故有22211121()cc⑦忽略高阶小量，只取⑦式中的前两项，代入⑥式，可得到2012hmW⑧可见，只要hW⑧式就能成立，光电效应就能产生。类型五、有关相对论中的能量和动量计算的问题。例6．一原子核基态的静质量为M，激发态比基态的能量高ΔE，已知ΔEMc2，以致22()EMc项可以略去。（1）试求下列两种情况下光子的频率：（a）该核处在基态且静止时吸收一个光子；（b）该核处在激发态且静止时辐射一个光子。（2）试论证：处在激发态的静止核所辐射光的光子，不能被处在基态的同类静止核吸收。分析和解：（1）（a）设光子被吸前的动量为1khec，ke为一单位矢量，光子被吸收后原子核的动量为1P，则由动量守恒定律得11khPec，即222211Pch由能量守恒定律222211()()PcMcEhMc两边平方2222211()()()PcMcEhMc代入222211Pch，可得2212(2)MchEMcE于是得到所求光子频率为12(1)EEhMc（b）设发射的光子动量为2khec，发射后原子核的动量2P，则由动量守恒定律得220khPec，即222222Pch由能量守恒定律2222222()()()EPcMchMcc由以上两式得2222()(2)McEhEMcE于是求得所求光子频率为22(1)EEhMc（2）由上面的结果可见。处在激发态的静止核所辐射出的光子能量为22(1)EhEMc，而处在基态的同类静止核所吸收的光子的能量为12(1)EhEMc，因21hh，故2h不