变化与比较问题表述

变化与比较问题表述——例谈理解题意的有效途径1问题的提出波利亚指出“掌握数学就意味着善于解题，”并把解题过程分为：理解题意，拟定方案，执行方案，回顾与反思四个过程．理解题意是解题的第一步．只有在正确理解题意的基础上才有可能产生正确的解法.而题意理解错误往往是导致解题错误的主要原因.理解题意贯穿了解题的始终，对解题过程的回顾与反思也包含了对问题的进一步理解认识.由于对题意的不同理解而产生了不同的解法和答案，甚至引发争论的现象时有发生.本文欲以一道因理解题意的不同而在中学教师中引发了莫衷一是的争论的问题为例.意在说明在解题中加强理解题意过程，在制题中加强题目语言规范是当前数学教学中值得注意的问题.愿以此抛砖引玉.例题再现：已知不等式0922axx①有解，且每一个满足条件①的x至少满足下述两式之一.0342xx②0862xx③求a的取值范围.这是一道有关一元二次不等式的解集问题.还涉及到与一元二次方程，二次函数的关系及相互转化.对帮助中学生理解和掌握一元二次不等式问题，理解和掌握一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系及相互转化而言，是一道极为典型的问题.但由于对题目所表达的意思产生了不同的理解，得到了两种不同的解法和答案，在中学教师中引发争论.罗增儒教授关注到此题的典型性和教育性，在文[1]对两种解法进行了正误的分析.笔者读后深受启发，在此想在分析两种解法差异的基础上对问题进行不同的表述与比较，以便进一步看清问题的实质、明辨正误.2两种解法的异同点2.1两种解法的共同点由①有解得，=81-8a0得881a，得出①的解集)48819,48819(aaA②化简得解集B=(1,3),③化简得解集C=(2,4).2.2两种解法的分歧解法一先由BA，CA分别得出a的范围，再求两种情况下a的取值集合的并集.得答案8819a.解法二先求集合B,C的并集，再由CBA得出a的范围.得答案8817a.两种解法都是采用对问题直接解答的方式.两种解法的区别从表面上看仅是解题中两个步骤的先后次序不同.正如文（1）所分析的一样，如代入a=7即可检验出解法一的错误.说明回顾与反思是理解题意的一道重要环节.但我们要进一步思考的是：解题步骤如何从题目中确定？错误的解题步骤代表什么样的问题？两种解题步骤所代表的问题有什么样不同？两者的问题表述有些什么样的形式和区别呢？本文拟从两种解法所代表的问题的不同表述与比较上来分析问题实质、明辨正误.3变化和比较问题表述是理解问题的有效途径我们知道，运动是绝对的，静止是相对的，事物在运动变化中保持不变的性质即事物的本质属性.在保持问题本质不变的情况下，变化问题的形式，是理解问题本质的有效手段.俗话说的好“不怕不识货，就怕货比货”.有比较，才有鉴别.变化和比较问题表述是理解问题的有效途径.在此我们对问题采用不同表述与比较，以助理解题意.3.1表述比较1现代数学是建立在集合语言基础上的.用集合的语言来表述两种解法所代表的问题是最为清楚易行的方式.由于②③条件非常简单，此处直接使用其化简式，以便更好地明确题意和进行比较.问题1：已知关于x的不等式0922axx的解集为A，)4,2()3,1(A求实数a的取值范围.问题2：已知关于x的不等式0922axx的解集为A，)3,1(A或)4,2(A求实数a的取值范围.经比较可得问题1的正确解法为解法二，问题2的正确解法为解法一.在集合语言下两问题表述规范、清楚明了.两者的区别在于：问题1实为求一种情况下a的取值范围；问题2则为先求两种情况下a的取值范围再求其并集.3.2表述比较2在上述基础上，我们在原问题语言下进行问题表述比较问题3即原问题.问题4：已知不等式0922axx①有解，且每一个满足条件①的x满足下述两式之一.0342xx②0862xx③求a的取值范围.问题4与问题3（即原问题）比较，题目中只是少了“至少”两字.“每一个满足条件①的x满足②③两式之一”指两种情况：（1）所有满足条件①x的满足②式；（2）所有满足条件①x的满足③式；“每一个满足条件①的x至少满足②③两式之”指满足条件①的x部分满足②式，部分满足③式.所以问题3（即原问题）应等同于问题1，问题4应等同于问题2.两种理解和解法的差异仅由两字之差引起，如果不对题目中这关键两字做出准确分析而判断两种解法谁对谁错就很难说服于人，从文[1]的解答中也可看出，作者对题目中这关键两字对题意引发的区别也未引起足够的重视，解题过程中的解释也有一些混淆和错误，争论的莫衷一是看来也是可理解的了.3.3表述比较3设axxxf92)(2，原问题的实质是抛物线与x轴交点位置的范围问题，即转化为关于x的方程0922axx的根的分布问题.原问题可表述为问题5，而解法一所代表的问题可产生问题6.问题5：已知关于x的方程0922axx在]4,2[]3,1[上有两个相异的实根，求实数a的取值范围.解：令axxxf92)(2，对称轴为49x，则只须00)1(f得8817a问题6：已知关于x的方程0922axx在[1，3]或[2，4]上有两个相异的实根，求实数a的取值范围.解：令axxxf92)(2，对称轴为49x，则00)3(f或00)2(f得8819a此处，两个问题字面的区别也仅“”与“或”.问题5实为一种情况，关于x的方程0922axx在]4,1[上有两个相异的实根.问题6表示的是两种情况：一种情况：关于x的方程0922axx在]3,1[上有两个相异的实根；另一种情况：关于x的方程0922axx在]4,2[上有两个相异的实根.这即是两种问题的区别所在.从上述对问题的不同表述与比较中，我们可以看出：变化和比较问题表述是理解问题的有效途径.同时也提醒我们：在数学解题中强调理解题意，在制题中加强题目语言规范是应该引起注意的问题.参考文献：罗增儒.到底谁对谁错.数学通报，2007，7