初三数学竞赛试卷

O-11A2初三数学竞赛试卷题号一二三总分1~89~1415161718得分一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分.以下每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填均得零分)1．如果226(21)xxmx，那么代数式m是（）（A）3(21)x（B）2(21)x（C）3(21)x（D）2(21)x2．在平面直角坐标系中，点A（x，1y）在第四象限，那么点B（1y，x）在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3．如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，点A表示数x，则x2的平方根是（）（A）2（B）2（C）2（D）24．如果,22,12cbba，那么ac1等于()（A）4（B）3（C）2（D）1学校坐位号姓名初中数学竞赛试卷第1页(共6页)11ABDC5．考虑下列4个命题：①有一个角是100°的两个等腰三角形相似；②斜边和周长对应相等的两个直角三角形全等；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；④对角线相等的梯形是等腰梯形．其中正确命题的序号是()(A)①②③④(B)①②④(C)②③④(D)①④6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形.则它们的公共部分(即阴影部分)的面积是()（A）大于1（B）等于1（C）小于1（D）小于或等于17．已知梯形的两条对角线分别为m与n，两对角线的夹角为600.那么，该梯形的面积为（）（A）mn23（B）mn43（C）mn83（D）mn38．已知，正整数n，k满足不等式65119nk，那么当n与k取最小值时，n+k的值为（）（A）29（B）30（C）31（D）32二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知⊙O的直径AB=22cm，过点A有两条弦AC=2cm，AD=6cm，那么劣弧CD的度数为_________.10．已知，关于x的一元二次方程260xkx与260xxk只有一个公共的根，那么方程052||2kxkx所有的根的和是.初中数学竞赛试卷第2页(共6页)AFBECDxyB/ACBO11．在写有整式5，r，ab，2m，，5x，2()xy，3mn的卡片中，任意选取其中两张分别作为分子和分母，得到一个分式的概率是.12．如图，直线12125yx与x轴、y轴分别交于A点和B点，C是OB上的一点，若将ABC沿AC翻折得到AB/C，B/落在x轴上，则过A，C两点的直线的解析式是.13．若251x，则431xxx=.14．如图，在ABC中，C=90，D、E分别是BC上的两个三等分点，以D为圆心的圆过点E，且交AB于点F，此时CF恰好与⊙D相切于点F.如果AC=245，那么⊙D的半径=.三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分、14分，满分50分）15．已知，一次函数11kkxy（k是不为0的自然数，且是常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为kS（即k=1时，得1S，k=2时，得2S，┅）.试求1S+2S+3S+2006S的值.初中数学竞赛试卷第3页(共6页)16．一商店销售某种食品，每天从食品厂批发进货，当天销售.已知进价为每千克5元，售价为每千克9元，当天售不出的食品可以按每千克3元的价格退还给食品厂.根据以往销售统计，该商店平均一个月(按30天计算)中，有12天每天可以售出这种食品100千克，有18天每天只能售出60千克.食品厂要求商店每天批进这种食品的数量相同，那么该商店每天从食品厂批进这种食品多少千克，才能使每月获得的利润最大?最大利润是多少?初中数学竞赛试卷第4页(共6页)17．已知，∆ABC和∆A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D，如图1.(1)当∆A1B1C1绕点D旋转到∆A2B2C2时，试判断AA2与CC2的位置关系，并证明你的结论.(2)如果当∆A1B1C1绕点D旋转一周，顶点A1和AC仅有一个交点，设该交点为A3，如图3.当AB=4时，求多边形ABDC3C的面积.CABDB1C1A1CABDB2C2A2ABCDB3C3A3图1图2图3初中数学竞赛试卷第5页(共6页)18．给出一个三位数.重排这个三位数三个数位上的数字，得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差构成一个三位数（允许百位数字为零），再重排这个得到的三位数三个数位上的数字，又得到一个最大的数和一个最小的数，它们的差又构成另一个三位数（允许百位数字为零），重复以上过程.问重复2007次后所得的数是多少？证明你的结论.初三数学竞赛参考答案和评分意见一、选择题(每小题5分，共40分)1—8：ACADBCBC二、填空题(每小题5分，共30分)9．30或15010．011．3412．21033yx13．114．835三、解答题（共4题，分值依次为12分、12分、12分、14分，满分50分）15．一次函数11kkxy的图象与两坐标轴的交点为（1k，0）、（0，11k），所围成的图形的面积为)1(12111121kkkkSk.…………4分∴1S+2S+3S+2006S=20072006121431213212121121…………8分=)200720061431321211(21=)200712006141313121211(21=)200711(21=20071003.…………12分16．设该商店每天批进这种食品x千克，每月获得的利润为y元．（1）当60100x时，由题意，30天中批进这种食品的成本为530x元，销售收入为元9(126018)x，退货所得为318(60)x元，于是可得9(126018)318(60)530yxxxCABDB2C2A2FEABCDB3C3A3G即126480yx…………4分∵126480yx是一次函数，且y随x的增大而增大，∴当100x时，即每天批进这种食品100千克时，可获得最大利润，最大利润为7680元．…………8分（2）当100x时，由题意，9(121006018)312(9100)318(60)530yxxx化简得6013680yx∵6013680yx是一次函数，且y随x的增大而减小，∴当100x时，即每天批进这种食品100千克时，可获得最大利润，最大利润为7680元．…………12分17．AA2⊥CC2.…………2分（1）在图2中，连接AD、A2D、延长AA2交BC于E，交CC2于F，∵ADA2=90-A2DC=CDC2，22ADDC=DADC（等边三角形都相似，相似三角形对应高的比等于相似比）∴AA2D∽CC2D，于是得A2AD=C2CD…………5分又因为AED=CEF，∴ADE=CFE=90∴AA2⊥CC2.…………8分（2）在图3中，连接A3D，过C3作C3G⊥BC于G，由（1）得AC⊥CC3，由题意又得A3D⊥AC，四边形A3CC3D是矩形.∴C3C=A3D=2sin603，C3G=33sin(9060)2，∴多边形ABDC3C的面积=3ABCCCDSS=231342422=932.…………12分18．经过2007步后得到495或0.…………2分不妨设选定的三位数中的最大数字为x，最小数字为z，还有一个数字为y，则(10010)(10010)99()Pxyzzyxxz，…………4分现讨论如下：（1）0xz，0P，第一步结果0.（2）1xz，99P，第一步结果099,第二步结果891,第三步结果792,第四步结果693，第五步结果954,第六步结果495.（3）2xz，198P，第一步结果198，第二步结果792，第三步结果692，第四步结果954，第五步结果495.（4）3xz，297P，第一步结果297,第二步结果693,第三步结果954,第四步结果495.（5）4xz，396P，第一步结果396,第二步结果594,第三步结果495.（6）5xz，495P，第一步结果495.（7）6xz，594P，第一步结果594,第二步结果495.（8）7xz，693P，第一步结果693，第二步结果594，第三步结果495.（9）8xz，792P，第一步结果792,第二步结果693,第三步结果954,第四步结果495.（10）9xz，891P，第一步结果891,第二步结果792,第三步结果693,第四步结果954,第五步结果495.由以上讨论可知至多6步可将一个三位数变为495或0，然后就进入循环，所以经过2007步后将得到495或0.当xz时，得到0；当xz时，得到495.…………14分（讨论一种情况给1分）