上海市三区（徐汇、松江、金山）2013届高三（二模）数学（理科）

第12题图A2A1A0A2013O2012学年第二学期徐汇、松江、金山区高三年级数学学科学习能力诊断卷（理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分）2013.4一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．若函数()(0,1)xfxaaa的反函数图像过点(2,1)，则a=.2．已知函数13(),8,64fxxx的值域为A，集合43|01xxBxx，则AB=.3．已知(,0)2，且4cos5，则tan2=___________.4．已知圆锥的母线长为5，侧面积为15，则此圆锥的体积为__________（结果保留）.5．已知32ix（i为虚数单位）是一元二次方程20xaxb(,ab均为实数)的一个根，则ab=__________.6．如图给出的是计算1111352013的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i.7.在极坐标系中,过圆6cos的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是__________.8.将参数方程22sin12cosxy（为参数，R）化为普通方程，所得方程是__________.9.在二项式63()()axaRx的展开式中，常数项的值是20，则23lim()nnaaaa=.10．一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1.将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，则数学期望E=___________.11．已知椭圆2212516xy内有两点1,3,3,0,ABP为椭圆上一点，则PAPB的最大值为.开始i=1,S=0S=S+i1输出S结束否是第6题图i201312.如图，O为直线02013AA外一点，若0123452013,,,,,,,AAAAAAA中任意相邻两点的距离相等，设02013,OAaOAb，用,ab表示0122013OAOAOAOAuuuruuuruuuruuuuurLL，其结果为.13.设函数fxxx，将fx向左平移a(0)a个单位得到函数gx，将fx向上平移a(0)a个单位得到函数hx,若gx的图像恒在hx的图像的上方，则正数a的取值范围为.14.如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点1E，然后复原，记11CDE；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与1ED重合，得到折痕2ED,然后复原，记22ADE；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与2ED重合，得到折痕3ED，然后复原，记33CDE；按此折法从第二步起重复以上步骤……，得到12,,,,n，则limnn.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知,ab为实数，命题甲：2abb，命题乙：110ba，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件16．已知函数1,00,01,0xfxxx，设2()()Fxxfx，则()Fx是（）CBA第18题图A.奇函数，在(,)上单调递减B.奇函数，在(,)上单调递增C.偶函数，在,0上递减，在0,上递增D.偶函数，在,0上递增，在0,上递减17．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22(0C)”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；则肯定进入夏季的地区有()A.0个B.1个C.2个D.3个18.如图所示，向量BC的模是向量AB的模的t倍，ABBC与的夹角为,那么我们称向量AB经过一次,t变换得到向量BC.在直角坐标平面内，设起始向量14,0OA，向量1OA经过1n次12,23变换得到的向量为1*,1nnAAnNn，其中*12,,()iiiAAAiN为逆时针排列，记iA坐标为,*iiabiN，则下列命题中不正确．．．的是（）A.23bB.3130kkbb*kNC.31310kkaa*kND.43180kkkkaaaa*kN三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)在ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边，且3sincoscossin2ACAC,若7,bABC的面积334ABCS，求ac的值.20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k.轮船的最大速度为15海里/小时.当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元.假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．（1）求k的值；（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值.21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知111ABCABC是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱1CC的中点．（1）求异面直线1AD与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求直线11AB到平面DAB的距离.DBCAB1C1A1第21题图22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列*()nanN的前n项和为nS,数列nSn是首项为0，公差为12的等差数列.（1）求数列na的通项公式；（2）设*42()15nanbnN，对任意的正整数k，将集合21221,,kkkbbb中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为kd，求证：数列kd为等比数列；（3）对（2）题中的kd，求集合1,kkxdxdxZ的元素个数.23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题有三个问题情形，每位考生只能选择一个作答，若多答，只对所答情形中最前面的一个记分，情形一、二、三满分依次为5分、6分、8分.已知双曲线C的中心在原点，1,0D是它的一个顶点，d(1,2)是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线C的方程；(2)若过点(3,0)任意作一条直线与双曲线C交于,AB两点(,AB都不同于点D)，求证：DADB为定值；(3)对于双曲线:22221(0,0,)xyababab，E为它的右顶点，,MN为双曲线上的两点(都不同于点E)，且EMEN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由.然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）.情形一：双曲线22221(0,0,)xyababab及它的左顶点；情形二：抛物线22(0)ypxp及它的顶点；情形三：椭圆22221(0)xyabab及它的顶点.（理）参考答案一．填空题:(本题共有14题，每小题4分)1．122.2,33.2474.125.196．2i7.cos38.23yx(22x)9.1410.1411.1512.1007()ab13.2a14.6二．选择题：（本题共有4小题，每小题5分）15.B16.B17.C18.D三．解答题19．（本题12分）解：由条件可得3sin()2AC，……………2分即3sin2B，……………4分13sin3.24ABCSacB3.ac………………………………8分由余弦定理Baccabcos2222,得22()22cos,bacacacB………………10分于是，217()23(1).2ac4ac.………………………………………12分20.（本题14分）本题共有2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）由题意得燃料费21Wkv，………………………………2分把v=10，196W代入得0.96k.………………………………………………6分（2）21001001500.96Wvvv，……………………………………9分=1500096214400002400vv，………………………11分其中等号当且仅当1500096vv时成立，解得1500012.51596v，……………13分所以，该轮船航行100海里的总费用W的最小值为2400（元）.……………………………14分21．（本题14分）本题共有2题，第(1)小题6分,第(2)小题8分.解：（1）方法一：以11AB中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系.………1分由题意得zyxOA1C1B1ACBD22222135cos5(1)131311,0,0,0,1,3,1,2,0,0,2,3ADBC则11,1,3,1,0,3ADBC..............3分设为向量1ADBC与的夹角，则，.....5分异面直线1AD与BC所成角的大小为arccos.......6分方法二：取1BB中点E，连结1,AEDE.//DECB………………………………….2分1ADE（或其补角）为异面直线1ADBC与所成的角.……3分由题意得:在11RtABE中，15AE;在11RtACD中，15AD;……………………4分在等腰三角形1ADE中，………5分所以异面直线1AD与BC所成角的大小为.....6分（2）方法一：由题意可得11//ABABD平面,所以，11AB到平面DAB的距离即为1A到平面DAB的距离，设为h.…………….8分设平面ABD的法向量为n，,,1nxyr,由1(1,0,0),1,2,0,0,1,3,1,2,0AADB得12001131,1,3ABADAD，，，，，，,…………………11分,即0,3,1n.……………………………………………………12分所以故直线11AB到平面DAB的距离为3.…………………………………14分方法二：由题意可得11//ABABD平面,EDBCAB1C1A1zyxOA1C1B1ACBD20003030xxABnxyyADn10333,2nADhn5arccos5551152cos.5DEADEAD1222,2ABDS所以，11AB到平面DAB的距离即为1A到平面DAB的距离，设为h.…………….8分由题意得15,2ADADBDAB，等腰ADB底边AB上的高为512，则12AABS，且D到平面11ABBA的距离为3，………………………………………12分由11AABDDAABVV得……………………………………………………………13分，则3h，所以，直线11AB到平面DAB的距离为3.……………14分22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分,第（3）小题满分6分.解：(1)由条件得10(1)2nSnn，即(1)2nnSn,…………………………..2分所以，*1()nann