初中数学竞赛辅导资料---数的整除

初中数学竞赛辅导资料数的整除(三)甲内容提要在第1讲《数的整除(一)》和44讲《数的整除(二)》中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.一.同余的概念两个整数a和b被同一个正整数m除，所得的余数相同时，称a,b关于模m同余.记作a≡b(modm).如：8和15除以7同余1，记作8≡15(mod7),读作8和15关于模7同余.∵2003=7×286+1，∴2003≡1(mod7)；∵－7和6对于模13同余6（余数是非负数）∴－7≡6（mod13）；∵35和0除以5，余数都是0（即都能整除）∴35≡0（mod5）.二.用同余式判定数的整除若a≡b(modm)，则m|(a－b).即a－b≡0(modm)m|(a－b).例如：11≡25(mod7)7|(25－11)；或7|(11－25).∵25+35≡2+3≡0(mod5)，∴5|25+35.三.同余的性质(注意同余式与等式在变形中的异同点)1.传递性：)(mod)(mod)(modmcamcbmba.2.可加可乘性：).(mod)(mod).(mod)(modmbdacmdbcamdcmba；，推论可移性：a≡b+c(modm)(a－b)≡c(modm).可倍性：a≡b(modm)ka≡kb(modm)(k为正整数).可乘方：a≡b(modm)an≡bn(modm)(n为正整数).3.当d是a,b,m的正公因数时，a≡b(modm)dbda(moddm).如：2是20，26，6的正公因数，20≡26(mod6)1310(mod3).四.根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m同余.即至少有两个，其差能被m整除.例如：任给5个数a,b,c,d,e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.∵除以4的余数只有0，1，2，3四种.∴5个数除以4至少有两个同余.乙例题例1.已知：69，90，125除以正整数n有相同的余数.求：n的值解：∵69≡90(modn)，90≡125(modn).∴n|(90－69)，n|(125－90).而21,35的最大公约数是7，记作(21,35)=7(7是质数).∴n=7例2.求388除以5的余数.解：∵38≡3(mod5)，∴388≡38≡(32)4≡(－1)4≡1(mod5).(注意9除以5余4，－1除以5也是余4，∴32≡－1(mod5)例3.求997的个位数字.解：∵74k+n与7n的个位数字相同，且9≡1(mod4)，∴99≡19≡1(mod4).∴997与71的个位数字相同都是7.例4.求证：7|(22225555+55552222).证明：∵22225555+55552222=(22225)1111+(55552)1111∵2222=7×317+3，5555=7×793+4.∴2222≡3(mod7)；5555≡4(mod7).∴22225≡35≡5(mod7)；55552≡42≡2(mod7).∴22225+55552≡5+2≡0(mod7).即22225≡－55552(mod7).∴(22225)1111≡(－55552)1111≡－(55552)1111(mod7).∴22225555+55552222≡0(mod7).∴7|(22225555+55552222).例5.求使32n－1能被5整除的一切自然数n.解：∵32≡－1(mod5)，∴(32)n≡(－1)n(mod5).32n－1≡(－1)n－1(mod5)∵当且仅当n为偶数时，(－1)n－1=0.∴使32n－1能被5整除的一切自然数n是非负偶数例6.已知：a,b,c是三个互不相等的正整数.求证：a3b－ab3,b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个数能被10整除.（1986年全国初中数学联赛题）证明：用同余式判定整除法证明当正整数n的个位数是0，1，4，5，6，9时，n3的个位数也是0，1，4，5，6，9.∴这时n3≡n(mod10)；当正整数n的未位数为2，3，7，8时，n3的个位数分别是8，7，3，2.∵8与－2，7与－3，3与－7，2与－8，除以10是同余数，∴这时n3≡－n(mod10)；把三个正整数a,b,c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个属于同一类.设a,b的末位数是同一类，那么a3b－ab3≡ab－ab≡0(mod10)；或a3b－ab3≡(－a)b－a(－b)≡0(mod10).∴10|(a3b－ab3)丙练习261.三个数33，45，69除以正整数N有相同余数，但余数不是0，那么N=_______.2.求777的个位数字.3.求379245除以19的余数；41989除以9的余数.4.求19891990÷1990的余数.5.四个数2836，4582，5164，6522都被同一个正整数除，所得的余数都相同且不是0，求除数和余数.6.求证：7|(33334444+44443333).7.已知：正整数n2.求证：31111个n(mod4).8.任给8个整数，其中必有两个，它们的差能被7整除，试证之.9.求使2n+1能被3整除的一切自然数n.10.已知69，90，125除以N(N1)有同余数，那么对于同样的N，81同余于()（A）3.（B）4.（C）5.（D）7.（E）8.（1971年美国中学数学竞赛试题）参考答案练习261.N=12，6，2.(舍去3，∵余数是0).解法仿例1.2.个位数字是3.∵7≡－1(mod4),∴777≡(－1)77(mod4)……仿例33.余数是18和1.∵37≡－1(mod19)∴原式≡－1≡18(mod19)；41989=(43)66364≡1(mod9)64663≡1663≡1.4.余数是1.∵1989≡－1(mod1990)∴19891990≡(－1)1990≡1(mod1990).5.根据题意2836≡4582≡5164≡6522≡r(modm)而且4582－2836=1746,6522－5164=1358.∴m|1746,且m|1358，(1746，1358)=2×97∴m=194,97,2(2不合题意.舍去)答：除数为194，余数是120或除数为97，余数是236.∵33334444+44443333≡14444+(－1)3333≡0(mod7).7.个个211111111nn00+11≡11≡3(mod4).8.8个正整数分别除以7，必有两个或两个以上是同余数9.∵2≡－1(mod3)∴2n≡(－1)n(mod3)2n+1≡(－1)n+1(mod3)当且仅当n奇数时,(－1)n+1≡0∴能被3整除的一切正整数n是奇数10.(B).