初中数学竞赛讲座--- 实数的概念及性质

第六讲实数的概念及性质数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数pq的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数pq的形式，这里p、q是互质的整数，且0p．2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．例题求解【例1】若a、b满足ba533=7，则S＝ba32的取值范围是．(全国初中数学联赛试题)思路点拨运用a、b的非负性，建立关于S的不等式组．注：古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．【例2】设a是一个无理数，且a、b满足ab－a－b+1=0，则b是一个()A．小于0的有理数B．大于0的有理数C．小于0的无理数D．大于0的无理数(武汉市选拔赛试题)思路点拨对等式进行恰当的变形，建立a或b的关系式．【例3】已知a、b是有理数，且032091412)121341()2331(ba，求a、b的值．思路点拔把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b的方程组．【例4】(1)已知a、b为有理数，x，y分别表示75的整数部分和小数部分，且满足axy+by2＝1，求a+b的值．(南昌市竞赛题)(2)设x为一实数，表示不大于x的最大整数，求满足=x+1的整数x的值．(江苏省竞赛题)思路点拨(1)运用估算的方法，先确定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值；(2)运用的性质，简化方程．注：设x为一实数，则表示不大于x的最大整数，]又叫做实数x的整数部分，有以下基本性质：(1)x－1≤x(2)若yx，则≤(3)若x为实数，a为整数，则=+a．【例5】已知在等式sdcxbax中，a、b、c、d都是有理数，x是无理数，解答：(1)当a、b、c、d满足什么条件时，s是有理数；(2)当a、b、c、d满足什么条件时，s是无理数．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨(1)把s用只含a、b、c、d的代数式表示；(2)从以下基本性质思考：设a是有理数，r是无理数，那么①a+r是无理数；②若a≠0，则ar也是无理数；③r的倒数r1也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a、b、c、d取值进行详细讨论．注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．学力训练1．已知x、y是实数，096432yyx，若yxaxy3，则a=．(2002年个数的平方根是22ba和1364ba，那么这个数是．3．方程0185yyx的解是．4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121；同样∵1112=12321，∴11112321；…由此猜想76543211234567898．(济南市中考题)5．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是()A．12B．21C．22D．22(江西省中考题)6．已知x是实数，则1xxx的值是()A．11B．11C．11D．无法确定的(“希望杯”邀请赛试题)7．代数式21xxx的最小值是()A．0B．21C．1D．不存在的(“希望杯”邀请赛试题)8．若实数a、b满足032)2(2abba，求2b+a－1的值．(山西省中考题)9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．21)1(2，211S；31)2(2，222S；41)3(2，233S；…(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出Sl2+S22+S32+…+S210的值．(烟台市中考题)10．已知实数a、b、c满足0412212cccbba，则a(b+c)=．11．设x、y都是有理数，且满足方程04)231()321(yx，那么x－y的值是．(“希望杯’邀请赛试题)12．设a是一个无理数，且a、b满足ab+a－b＝1，则b=．(四川省竞赛题)13．已知正数a、b有下列命题：①若a=1，b＝1，则1ab；②若25,21ba，则23ab；③若a＝2，b=3，则25ab；④若a=1，b=5，则3ab．根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则ab．(黄冈市竞赛题)14．已知：11aa，那么代数式aa1的值为()A．25B．25C．5D．5(重庆市竞赛题)15．设表示最接近x的整数(x≠n+0.5，n为整数)，则+++…+的值为()A．5151B．5150C．5050D．5049(“五羊杯”邀请赛试题)16．设ab0，abba422，则baba的值为()A．3B．6C．2D．3(全国初中数学竞赛题)17．若a、b、c为两两不等的有理数，求证：222)(1)(1)(1accbba为有理数．18．某人用一架不等臂天平称一铁块a的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量．(安徽省中考题)．19．阅读下面材料，并解答下列问题：在形如ab=N的式于中，我们已经研究过两种情况：①已知a和b，求N，这是乘方运算，②已知b和N，求a，这是开方运算．现在我们研究第三种情况；已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．定义：如果ab=N(a0，a≠1，N0)，则b叫做以a为底的N的对数，记作b=logaN．例如：因为23=8，所以log28=3；因为2-3=81，所以log281=－3．(1)根据定义计算:①log381=；②log33=；③log3l=；④如果logx16=4，那么x=．(2)设ax=M，ay＝N，则logaM=x；logaN＝y(a0，a≠1，N0，M，N均为正数)．用logAM，logAN的代数式分别表示logaMN及logaNM，并说明理由．(泰州市中考题)20．设dcxbaxy，a、b、c、d都是有理数，x是无理数．求证：(1)当bc=ad时，y是有理数；(2)当bc≠ad时，y是无理数．设△ABC的三边分别是a、b、c，且0448222bcabbca，试求AABC的形状．