初中数学竞赛讲座---二次根式的运算

第七讲二次根式的运算式子a(a≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础．(1)cbacbca)((c≥0)；(2)abba(0,0ba)；(3)baba(0,0ba)；(4)22)(aa(a0)．同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等．例题求解【例1】已知254245222xxxxy，则22yx=．(重庆市竞赛题)思路点拨因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．注：二次根式有如下重要性质：(1)0a，说明了a与a、na2一样都是非负数；(2)aa2)((a0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3)aa2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．【例2】化简22)1(111nn，所得的结果为（）A．1111nnB．1111nnC．1111nnD．1111nn(武汉市选拔赛试题)思路点拔待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．注特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．【例3】计算：（1）)23)(36(23346；（2）2115141021151410；（3）4947474917557153351331；1325182336210153．思路点拨若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口．【例4】(1)化简324324；(北京市竞赛题)(2)计算223810(“希望杯”邀请赛试题)(3)计算1212aaaa．(湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)思路点拨（1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，此外，由于4+23与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．【例5】已知521332412ccbaba，求cba的值．(山东省竞赛题)思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．学历训练1．如果22332xxy，那么yx2=．(四川省竞赛题)2．已知3xy，那么yxyxyx的值为．(成都市中考题)3．计算2001)13(2)13(2)13(199920002001=．(天津市选拔赛试题)4．若ab≠0，则等式abbba351飞成立的条件是．(淄博市中考题)5．如果式子2)1(2xx化简的结果为32x，则x的取值范围是()A．x≤1B．x≥2C．1≤x≤2D．x0(徐州市中考题)6．如果式子aa11)1(根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）A．a1B．1aC．1aD．a17．已知)0,0(02yxyxyx，则yxyxyxyx4353的值为()A．31B．21C．32D．438．已知321a，那么aaaaaa2221211的值等于（）A．)321(B．1C．32D．39．计算：(1)12002200120001999；（2）7221756215422133021120291227625223；(北京市数学竞赛题)（3）4266777647511；（4）)19992001()19972001(2001)20011999)(19971999(1999)20011997)(19991997(1997(“希望杯”邀请赛试题)10．(1)已知139与139的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值；(2)设nnnnx11，nnnny11，n为自然数，如果19932197222yxyx成立，求n．11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．（1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：4.12，7.13)(贵阳市中考题)12．已知2323x，2323y，那么22yxxy=．(T1杯全国初中数学联赛题)13．若有理数x、y、z满足)(2121zyxzyx，则2)(yzx=．(北京市竞赛题)14．设ba21027，其中a为正整数，b在0，1之间，则baba=．15．正数m、n满足34424nnmmnm，则2002282nmnm=．(北京市竞赛题)16．化简212172232等于()A．5—42B．42一1C．5D．－1(全国初中数学联赛题)17．若xx11，则2)1(x等于()A1xB．x1C．1D．－1(2004年武汉市选拔赛试题)18．若bababa、、,都是有理数，那么a和b面()A．都是有理数B．一个是有理数，另一个是无理数C．都是无理数D．有理数还是无理数不能确定(第13届“希望杯”邀请赛试题)19．下列三个命题：①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数；②若α，β是互不相等的无理数，则是无理数；③若α，β是互不相等的无理数，则3是无理数．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3(全国初中数学联赛试题)20．计算：（1）3426302352；（“希望杯”竞赛题）（2）2356101528；（山东省竞赛题）（3）100999910013223121121；（四川省选拔赛题）(4))1552326(2；(5)223152525．(新加坡中学生数学竞赛题)21．(1)求证11)1(12222ababaababa；(2)计算200012000199919991222．（“祖冲之杯”邀请赛试题）22．(1)定义323232121121)(xxxxxxf，求)999()12()3()1(fkfff的值；(2)设x、y都是正整数，且使yxx100116，求y的最大值．(上海市竞赛题)23．试将实数)71)(51(211改写成三个正整数的算术根之和．(2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)24．求比6)56(大的最小整数．(西安交通大学少年班入学试题)