初中数学竞赛讲座---分式的概念、性质及运算

第四讲分式的概念、性质及运算分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容．从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”．在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理．分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具．分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：1．化整为零，分组通分；2，步步为营，分步通分；3．减轻负担，先约分再通分；4．裂项相消后通分等例题求解【例1】要使分式xx11有意义，则x的取值范围是．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密．注：在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比．学习分式时，应注意：(1)分式与分数的概念、性质、运算的类比；(2)整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；（3）分式需要讨论宇母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在．【例2】已知122432xBxAxxx，其中A、B为常数，则4A－B的值为（）A．7B．9C．13D．5(江苏省竞赛题)思路点拨对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出A、B的值．【例3】计算下列各式：(1)443224211baabaababa；（2）xyzyxzxyzzxyxzyzxyyzxzyxyzx)()()(222222；(“五羊杯”竞赛题)（3）1)1(21221122122233233xxxxxxxxxx(江西省赣州市竞赛题)（4）)2)(2())(()2)(2())(()2)(2())((zyxxzyzyzxxzyzyxyxyzzyxzyxxzxy(安徽省马鞍山市竞赛题)思路点拨因各分式复杂，故须观察各式中分母的特点，恰当运用通分的相关策略与技巧．对于(1)，分步通分；对于(2)，拆项再通分；对于(3)，先约分再通分；(4)注意到分母与分子的项与项之间的关系，如x－2y+z=(x－y)－(y－z)，采用换元法简化式子．【例4】解下列分式方程(组)：(1)821261949819965xxxxxxxx；(“五羊杯”竞赛题)(2)514131accacbbcbaab(“希望杯”邀请赛题)思路点拨若直接通分去分母，则使问属复杂化，对于(1)拆分、分步运算，对于(2)取倒数，逆用加法法则．【例5】(1)n为自然数，若n+6|n3+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|43+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和．(北京市竞赛题)(2)计算：500099009999500010050002002250001001122222222kkk(上海市“宇振杯”竞赛题)思路点拔(1)由于n3+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；(2)首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算．学力训练1．（1）要使分式aaa231142没有意义，则a的值为．（2）若5a和2)4(b互为相反数，则)2()11()(422bababaabbabaab的值为．(岳阳市中考题)2．已知x为整数，且918232322xxxx为整数，则所有符合条件的x值的和为．3．已知2xa与2xb的和等于442xx，则a=，b＝．(山东省竞赛题)4．学校用一笔钱买奖品，若以1枝钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1枝钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品．那么，这笔钱全部用来买钢笔可以买枝．(江苏省镇江市中考题)5．已知式子1)1)(8(xxx的值为0，则x的值为()A．±1B．－lC．8D．－1或8(江苏省竞赛题)6．化简)5)(4(1)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1xxxxxxxx的结果是()A．5642xxB．5632xxC．5622xxD．5612xx(大连市“育英杯”竞赛题)7．若x取整数，则使分式1236xx的值为整数的x值有()A．3个B．4个C．6个D．8个(江苏省竞赛题)8．若a、b、c满足a+b+c=0，abc=8，则cba111的值是()A．正数B．负数C．零D．正数或负数(“希望杯”邀请赛试题)9．计算下列各题：（1）1814121111842xxxxx；（2）11134217932322xxxxxxxxx；（3）abbcaccbaacabbcbacbcacabacb222；10．(1)火车长为400米，通过隧道(从火车头进入隧道至车尾离开隧道)需10分钟，若每分钟速度增加0．1千米，则只需9分钟．求隧道长．（大原市竞赛题)(2)甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤。元和6元，甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问谁两次买的大米平均价格更低些?说明理由．(福州市中考题)ll.若x+y+z=3a(a≠O)，则222)()()())(())(())((azayaxaxazazayayax的值为．12．若关于x的方程122xax的解为正数，则a的取值范围是．(湖北省选拔赛试题)13．方程4x2一2xy－12x+5y+11=O有组正整数解．(“五羊杯”竞赛题)l4．已知612602aa是正整数，则正整数a=．(“希望杯”邀请赛试题)15．设a、b、c均为正数,若acbcbabac，则a、b、c三个数的大小关系是()A．cabB．bcaC．abcD．cba16．已知0221baba，则ba为()A．－1B．1C．2D．不能确定(江苏省竞赛题)17．分式221012622xxxx可取的最小值为（）A．4B．5C．6D．不存在18．设有理数a、b、c都不为零，且a+b+c=0，则222222222111cbabacacb的值是（）A．正数B．负数C．零D．不能确定19．解下列方程(组)：（1）xxxxxxxx29211217219215217211213（2）1223111111xxx（太原市竞赛题）20．(1)某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲，丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，求111111cba的值．(江苏省竞赛题)（2）已知A＝56789012344567890123，B=56789012364567890124，试比较A与B的大小．(南京市竞赛题)21．已知正整数n大于30，且使得4n一1整除2002n，求n的值．(第14届“五羊杯”邀请赛试题)