上海市某重点高中高二上学期期末考试数学试题

上海市某重点高中第一学期高二数学期终答案（满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）[来源:学+科+网]一、填空题：本大题共12题，满分36分。请在横线上方填写最终的、最准确的、最完整的结果。每题填写正确得3分，否则一律得0分。1、过点(23)A，，且垂直于OA的直线方程为_______________。解：一个法向量(23)n，，所以方程为2(2)3(3)0xy，即23130xy。▋2、直线l的一个法向量(cos1)n，（R），则直线l倾角的取值范围是_______。解：tancos[11]，，所以倾角的取值范围是3[0][)44，，。▋[来源:Zxxk.Com]3、已知直线1l：(3)(4)10kxky与2l：2(3)230kxy平行，则k的值是____________。解：342(3)(5)02(3)2kkkkk，所以3k或5k。当3k时，二直线分别为1l：10y，2l：230y，平行；当5k时，二直线分别为1l：210xy，2l：4230xy，平行。▋4、直线l的一个方向向量(12)d，，则l与0xy的夹角大小为__________。（用反三角函数表示）解：1(11)d，，所以夹角满足12310cos1052，所以夹角为310arccos10。▋5、已知圆C与直线0xy及40xy都相切，圆心在直线0xy上，则圆C的方程为________________________。解：22(1)(1)2xy。▋6、等轴双曲线C与椭圆221106xy有公共的焦点，则双曲线C的方程为____________。解：椭圆的焦点坐标为1(20)F，，2(20)F，。[来源:Z#xx#k.Com][来源:学*科*网Z*X*X*K]由22224aa，所以22a。所以，双曲线C的方程为22122xy。▋7、有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽_________米。[来源:学科网]解：设抛物线方程为22xpy，其过点(22)，，所以1p，22xy，当3y时，6x，所以桥下的水面宽26米。▋8、直线1l：31yx绕原点逆时针旋转90的直线2l，则1l与2l的交点坐标为_______。解：2l：1(1)3yx，与31yx联立，解得交点为21()55，。▋9、已知方程2222(2)(2)(22)340axayaxaya表示圆，则a___________。[来源:Zxxk.Com]解：令22aa，解得1a或2a。（1）当1a时，方程化为2210xyx，方程表示圆；（2）当2a时，方程化为222350xyxy，判别式2223450，方程不表示圆。所以1a。▋10、已知过抛物线C：22ypx（0p）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M恰好为A、F的中点，则直线的斜率k_____________。解：22ypx的焦点为(0)2pF，，设(0)Aa，（0a），所以()42paM，，将()42paM，代入22ypx，得2ap，所以直线的斜率022202aakpp。▋11、（2009上海市秋季高考文科第12题）已知1F、2F是椭圆C：22221xyab（0ab）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且120PFPF。若12PFF的面积为9，则b_________。解：有121222212||||2||||18||||4PFPFaPFPFPFPFc，可得224364ca，即229ac，故有3b。▋[来源:学科网]12、已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为切点，那么PAPB的最小值为_____________。解：设PAPBx（0x），APO，则2APB，所以21POx，21sin1x，||||cos2PAPBPAPB22222(1)(12sin)1xxxx令21xt，所以1t≥，所以(1)(2)23322ttPAPBttt≥，当且仅当2tt，即2t，即21x时等号成立。所以PAPB的最小值为322。▋二、选择题：本大题共4题，满分16分。请选择你认为最正确的答案（每小题有且只有一个）写在括号内。每题填写正确得4分，否则得0分。13、（2009海南宁夏秋季高考文科第5题）已知圆1C：22(1)(1)1xy，圆2C与圆1C关于直线10xy对称，则圆2C的方程为()(A)22(2)(2)1xy(B)22(2)(2)1xy(C)22(2)(2)1xy(D)22(2)(2)1xy解：设圆2C的圆心为()ab，，则依题意，有111022111abba，解得：22ab，对称圆的半径不变，为1，故选(B)。▋[来源:Z.xx.k.Com]14、（2010湖北省秋季高考理科第9题、文科第9题）若直线yxb与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是()(A)[1122]，(B)[122122]，(C)[1223]，(D)[123]，解：曲线方程可化简为22(2)(3)4xy（13y≤≤），即表示圆心为(23)，，半径为2的半圆。依据数形结合，直线yxb与此半圆相切，即圆心(23)，到直线yxb距离等于2，解得122b（舍）或122b。[来源:Z_xx_k.Com]当直线过(03)，时，解得3b，故1223b≤≤，所以选(C)。▋15、给出下列3个命题：①在平面内，若动点M到1(10)F，、2(10)F，两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是椭圆；②在平面内，给出点1(50)F，、2(50)F，，若动点P满足12||||8PFPF，则动点P的轨迹是双曲线；③在平面内，若动点Q到点(10)A，和到直线220xy的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线。其中正确的命题有()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解：选(A)。▋16、已知直线l：y=k(x+2)（k0）与抛物线C：28yx相交于A、B两点，F为C的焦点，若||2||FAFB，则k()(A)13(B)23(C)23(D)223解：设抛物线C：28yx的准线为2x，直线y=k(x+2)（k0）恒过定点(20)P，。如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点。连结OB，则1||||2OBAF，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1，22)，∴220221(2)3k，∴选(D)。▋[来源:Zxxk.Com]三、解答题：本大题共5题，满分48分。请在题后空处写出必要的推理计算过程。17、（本题满分8分）已知直线l：320xy与x轴交于点A；以O为圆心，过A的圆记为圆O。求圆O截l所得弦AB的长。解：在320xy中，令0y，得(20)A，，所以圆C的半径2r，……2分圆心O到直线l的距离|002|113d。……3分[来源:Zxxk.Com]所以弦长22||22123AB。▋……3分[来源:学+科+网Z+X+X+K]18、（本题满分8分）已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点(21)P，，直线1PA与2PA（1A，2A为双曲线C的两个顶点）的斜率之积121PAPAkk，求双曲线C的标准方程。解：（1）当双曲线的焦点位于x轴上时，设C：22221xyab，所以1(0)Aa，，2(0)Aa，，1221111224PAPAkkaaa，解得23a。……2分将23a，(21)P，代入双曲线方程，得24113b，解得23b。……2分所以双曲线C的标准方程为22133xy。……2分（2）当双曲线的焦点位于y轴上时，设C：22221yxab，所以1(0)Aa，，2(0)Aa，，1222241111PAPAkkaaa，解得23a（舍去）。……2分综上，所求双曲线C的标准方程为22133xy。▋19、（本题满分10分）过点(42)P，作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于AB两点之间。（Ⅰ）3APPB，求直线l的方程；（Ⅱ）求当APPB取得最小值时直线l的方程。解：显然直线l的斜率k存在且0k，设l：(4)2ykx，得2(40)Ak，，(024)Bk，。……2分[来源:Z&xx&k.Com]因为P位于AB两点之间，所以244k且242k，所以0k。2(2)APk，，(44)PBk，。……2分（Ⅰ）3APPB，所以23(4)k，所以16k。直线l的方程为6160xy。……3分（Ⅱ）18(()())16APPBkk≥，当1kk即1k时，等号成立。所以当APPB取得最小值时直线l的方程为60xy。▋……3分20、（本题满分10分）已知曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差是1。（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点K(-1，0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D。证明：点F在直线BD上；解：（Ⅰ）根据题意知，C上每一点到点F(1，0)的距离等于它到直线1x的距离。所以，曲线C上每一点在开口向右的抛物线上，……2分其中2p，所以抛物线方程为24yx。又因为曲线C在y轴的右边，所以，曲线C的方程为24yx（0x）。……2分（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴D(x1，-y1)，l的方程为1xmy（m≠0）。将1xmy代人24yx，整理得2440ymy，∴从而124yym，124yy。……2分直线BD的方程为212221()()yyyyxxxx，[来源:学*科*网Z*X*X*K]即222214()4yyyxyy，……2分令y=0，得1214yyx，所以点F(1，0)在直线BD上。▋……2分21、（本题满分12分）已知1m，直线l：202mxmy，椭圆C：2221xym，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点。（Ⅰ）当直线l过右焦点2F时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点。（ⅰ）求线段AB长度的最大值；（ⅱ）12AFFV，12BFFV的重心分别为G，H。若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围。[来源:学科网ZXXK]解：（Ⅰ）因为直线l：202mxmy经过22(10)Fm，，所以2212mm，得22m，又因为1m，所以2m，故直线l的方程为210xy。……4分（Ⅱ）设11()Axy，，22()Bxy，。由222221mxmyxym，消去x得222104mymy，则由2228(1)804mmm，知28m，且有122myy，212182myy。……2分（ⅰ）222212121212||()()(1)(()4)ABxxyymyyyy2222222111817(1)(()4())(1)(8)()2822242mmmmmm……2分所以，当272m时，max9||4AB。……1分（ⅱ）由于1(0)Fc，，2(0)Fc，，可知11()33xyG，，22()33xyH，，因为原点O在以线段GH为直径的圆内，所以0OHOG，即12120xxyy，所以2212121212()(