初中数学竞赛讲座----完全平方数和完全平方式

完全平方数和完全平方式设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；(5)任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；(6)相邻两个整数之积不是完全平方数；(7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数．例题求解【例1】n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全平方数之和．思路点拨设3n+1=m2，显然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整数)．若rn=3k+1，则kkmn233122．∴n+1=3k2+2k+1=k2+k2+(k+1)2．若m=3k+2，则1433122kkmn∴n+1=3k2+4k+2=k2+(k+1)2+(k+1)2．故n+1是3个完全平方数之和．【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．思路点拨引入参数，利用奇偶分析求解．设所求正整数为x，则x+100=m2----①x+168==n2-----②其中m，n都是正整数，②—①得n2—m2=68，即（n—m）(n+m)=22×17．----③因n—m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n—m，n+m都是偶数．注意到0n—mn+m，由③可得1722mnmn．解得n=18．代人②得x=156，即为所求．【例3】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．思路点拨1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．对于被4整除的偶数4k，有4k=(k+1)2—(k—1)2(k=2，3，…)．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．对于被4除余2的数4k+2(k=0，1，2，3，…)，设4k+2=x2—y2=(x+y)(x－y)，其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，(x+y)(x－y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2—y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．因为1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数”，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数abcde满足下列条件：(1)它的各位数字均不为零；(2)它是一个完全平方数；(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数bc以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de也都是完全平方数．试求出满足上述条件的所有五位数．思路点拨设abcdeM2，且2ma(一位数)，2nbc(两位数)，2tde(两位数)，则2224221010tnmM①由式①知224222210210)10(tmtmtmM②比较式①、式②得n2=2mt．因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数．故n2=16或36或64．当n2=16时，得8mt，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；故116642M或41616．当n2=36时，得18mt．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去．故436812M或93636．当n2=64时，得32mt．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去．因此，满足条件的五位数只有4个：11664，41616，43681，93636．【例5】(2002年北京)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．思路点拨不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．理由如下：偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足22002mnnji；ji，=1，2，3，4，rn是正整数；因为2002被4除余2，所以jinn被4除应余2或3．(1)若正整数n1，n2，n3，n4中有两个是偶数，不妨设n1，n2是偶数，则200221nn被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n1，n2，n3，n4中至多有—个是偶数，至少有三个是奇数．(2)在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与jinn被4除余2或3的结论矛盾．综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．【例6】使得(n2—19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少?思路点拨若(n2—19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了．∵n2一19n+91=(n-9)2+(10一n)当n10时，(n－10)2n2－19n+19(n-9)2∴当n10时(n2—19n+19)不会成为完全平方数∴当n≤10时，(n2—19n+91)才是完全平方数经试算，n=9和n=10时，n2—19n+91是完全平方数．所以满足题意的值有2个．【例7】(“我爱数学”夏令营)已知200221aaa，，，的值都是1或—1，设m是这2002个数的两两乘积之和．(1)求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；(2)求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．思路点拨(1)mmaaaaaa220022)(2200222212200221，22002)(2200221aaam．当1200221aaa或1时，m取最大值2003001．当200221aaa，，，中恰有1001个1，1001个1时，m取最小值—1001．(2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025，且200221aaa必为偶数，所以，当46200221aaa或46；即200221aaa，，，中恰有1024个1，978个1或恰有1024个1，978个1时，m取最小值57)200246(212．【例8】(全国竞赛题)如果对一切x的整数值，x的二次三项式cbxax2都是平方数(即整数的平方)，证明：(1)2a、2b都是整数；(2)a、b、c都是整数，并且c是平方数．反过来，如果(2)成立，是否对一切x的整数值，cbxax2的值都是平方数?思路点拨(1)令x=0，得c=平方数=2l；令x=±1，得2mcba，2ncba，其中m、n都是整数．所以，cnma2222，222nmb都是整数．(2)如果2b是奇数2k+l(k是整数)，令x=4得22416hlba，其中h是整数．由于2a是整数，所以16a被4整除，有2416416kaba除以4余2．而))((22lhlhlh，在h、l的奇偶性不同时，))((lhlh是奇数；在h、l的奇偶性相同时，))((lhlh能被4整除．因此，22416lhba，从而2b是偶数，b是整数，bcma2^也是整数．在(2)成立时，cbxax2不一定对x的整数值都是平方数．例如，a=2，b=2，c=4，x=1时，cbxax2=8不是平方数．另解(2)：令x=±2，得4a+2b+c=h2，4a—2b+c=k2，其中h、k为整数．两式相减得4b=h2—k2=(h+k)(h—k)．由于4b=2(2b)是偶数，所以h、k的奇偶性相同，(h+k)(h—k)能被4整除．因此，b是整数，bcma2也是整数．学力训练(A级)1．(山东省竞赛题)如果a是整数，那么a满足()A．a0，且a是完全平方数B．a0，且－a是完全平方数C．a≥0，且a是完全平方数D．a≤0，且—a是完全平方数2．设n是自然数，如果n2的十位数字是7，那么n2的末位数字是()A．1B．4C．5D．63．(五羊杯，初二)设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是．4．使得n2—19n+95为完全平方数的自然数n的值是．5．自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n=．6．两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是．7．是否存在一个三位数abc(a，b，c取从1到9的自然数)，使得cabbcaabc为完全平方数?8．求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．（B级）1．若x是自然数，设1222234xxxxy，则()A．y一定是完全平方数B．存在有限个，使y是完全平方数C．y一定不是完全平方数D．存在无限多个，使y是完全平方数2．已知a和b是两个完全平方数，b的个位数字为l，十位数字为x；b的个位数为6，十位数字为y，则()A．x，y都是奇数B．x，y都是偶数C．x是奇数，y是偶数D．x为偶数，y为奇数3．若四位数xxyy是一个完全平方数，则这个四位数是．4．设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是．5．(全国联赛题)设平方数y2是11个连续整数的平方和，则y的最小值是．6．(北京市竞赛，初二)p是负整数，且2001+p是—个完全平方数，则p的最大值为．7．有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士?8．证明：10006999309个各nn是一个完全平方数．