初中数学竞赛模拟试题(3)

初中数学竞赛模拟试题(3)一、选择题（每小题6分，共30分）1．在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为2160°的多边形，则n的值为（）（A）只能为12（B）只能为13（C）只能为14（D）以上都不对2．已知关于x的方程029|3|)2(62axaxx有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）（A）a＝0（B）a≥0（C）a＝－2（D）a＞0或a＝－23．若正实数a、b满足3baab，则22ba的最小值为（）（A）－7（B）0（C）9（D）184．如图，在△ABC中，∠C＝Rt∠，CD⊥AB，下列结论：（1）DC·AB＝AC·BC；（2）BDADBCAC22；（3）222111CDBCAC；（4）AC＋BC＞CD＋AB．其中正确的个数是（）（A）4（B）3（C）2（D）15．设n是正整数，0＜x≤1，在△ABC中，如果AB＝xn，BC＝xn2，CA＝xn3，BC边上的高AD＝n，那么，这样的三角形共有（）（A）10个（B）11个（C）12个（D）无穷多个二、填空题（每小题6分，共30分）6．实数x、y、z满足：2yx，012222zxy，则zyx的值为．7．如果对于任意两个实数a、b，“”为一种运算，定义为baba2，则函数42)2(2xxy（－3≤x≤3）的最大值与最小值的和为．8．已知四个正数a、b、c、d满足a＜b＜c＜d，它们两两的和依从小到大的次序分别是：23、26、29、93、x、y，则yx的值为．9．已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO＝150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为．10．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．则R的最小值是．三、解答题（每小题15分，共60分）11．实数x与y使得yx，yx，xy，yx四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x，y）．12．如图，△ABC的面积为S，作直线l∥BC，分别交AB、AC与点D、E，若△BED的面积为K．求证：K≤41S．lABCDE13．如图，在直角坐标系内有两个点A（－1，－1），B（2，3），若M为x轴上一点，且使MB－MA最大，求M点的坐标，并说明理由．14．在△ABC中，AB＝40，AC＝60，以A为圆心，AB长为半径作圆交BC与D，且D在BC边上，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长．ABxy123123-1-2-3-1参考答案（3）一、选择题1．D2．D3．D4．B5．C二、填空题6．07．378．1959．（1，31），（－1，31）10．865或215三、解答题11．显然，0y，所以yxyx．依题意，有yxxyyx或yxxyyx，于是（1）.,yxxyxyyx解得0x或1y．当0x时，0y（舍去）；当1y时，xx1，无解；当1y时，xx1，∴21x，∴.1,21yx（2）.,yxxyyxyx解得.1,21yx故数对（x，y）为（21，－1），（21，－1）．12．设xABAD，∵l∥BC，∴xABADACAE，由xACAESSABCABE，得∴SxSABE．又xABADABBDSSABEBDE11．∴SSxSxxSSxxK4141)21()()1(22．13．作点A关于x轴的对称点A＇，作直线BA＇交x轴于点M，由对称性知MA＇＝MA，MB－MA＝MB－MA＇＝A＇B．若N是x轴上异于M的点，则NA＇＝NA，这时NB－NA＝NB－NA＇＜A＇B＝MB－MA．所以，点M就是使MB－MA的最大的点，MB－MA的最大值为A＇B．设直线A＇B的解析式为bkxy，则,23,1bkbk解得32k，35b．即直线A＇B的解析式为3532xy，令0y，得25x．故M点的坐标为（25，0）．14．设BD＝a，CD＝b，（a，b为正整数）作AE⊥BD，垂足为E，则AB＝AD＝40，BE＝DE＝2a．∵222)2(40aAE，222)2(60baAE，∴2222)2(60)2(40baa，∴34522000)(bba，∵20＜ba＜100，∴只有,52,5232bba或.5,5224bba故BC的长为50或80．ＭＯ＇A-1-3-2-1321321yxBAＮ