上海市2013年春沪教版数学八年级下册《四边形》练习题

NMDCBA四边形证明题及综合题1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，∠BAE=∠DAF．（1）求证：BE=DF；（2）联结AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，联结EM、FM．求证：四边形AEMF是菱形．2、如图8，已知梯形ABCD中，ADBC∥，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且)(21BCADBF．（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；（2）联结AF,若AG平分FAD，求证：四边形AEFG是矩形．3、如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=AB=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P。（1）求证：AF=BE；（2）请猜测∠BPF的度数，并证明你的结论。4、如图，在矩形ABCD中，BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足.（1）求证：AN=CM；（2）如果AN=MN=2，求矩形ABCD的面积.ADBEFOCM第1题图BEADGCF（第2题图）(第3题图)EACDFBP5.如图.在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且BCCE21.过点E作EF∥CA，交CD于点F，联结OF.（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明.6、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，DE与CF相交于G，DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点．求证：（1）BM//GH；（2）BM⊥CF．7．已知：如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，联结CD.求证：四边形ABCD是菱形．8．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，DE与CF相交于G，DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点.求证：（1）//BMGH(2)BMCFAB（图5）DCOEF（第6题）ABCDGHEFMFOEDCBA第21题图MHGFEDCBA9．已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，点E、F在边BC上，BE=CF，EF=AD．求证：四边形AEFD是矩形．10．如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AG//DB交CB的延长线于点G．（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G＝90，求证：四边形DEBF是菱形．11．已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，AC⊥AB，点E是AC的中点，DE的延长线与边BC相交于点F．求证：四边形AFCD是菱形．12．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E、F在边BC上，DE//AB，AF//CD，且四边形AEFD是平行四边形．（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）现有三个论断：①AD=AB；②∠B+∠C=90°；③∠B=2∠C．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD是菱形．ABEFCD（第9题）ABCDGEF（第11题图）ABFCDEABDCEF（第12题图）（第27题图）PNMDCBA13．已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M，折痕交边BC于点N.（1）写出图中的全等三角形.设CP=x，AM=y，写出y与x的函数关系式；（2）试判断∠BMP是否可能等于90°.如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由.14、已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F.（1）当点E落在线段CD上时（如图10），①求证：PB=PE；②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，⊿PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由．DCBAEP。F（图1）DCBA（备用图）15、如图，直线343yx与x轴相交于点A，与直线3yx相交于点P.(1)求点P的坐标.(2)请判断△OPA的形状并说明理由.(3)动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着OPA的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EFx轴于F，EBy轴于B.设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S.求S与t之间的函数关系式.FBEPAOxy16．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，90A，45C，4ADAB．E是直线AD上一点，联结BE，过点E作BEEF交直线CD于点F．联结BF．（1）若点E是线段AD上一点（与点A、D不重合），（如图1所示）①求证：EFBE．②设xDE，△BEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．（2）直线AD上是否存在一点E，使△BEF是△ABE面积的3倍，若存在，直接写出DE的长，若不存在，请说明理由．(备用图）PAOxy(备用图）PAOxy（第3题图1）FEDCBA（第3题备用图）DCBA17．已知：O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，联结EO，OF⊥OE交BA延长线于点F，联结EF（如图4）。（1）求证：EO=FO；（2）若正方形的边长为2，OE=2OA，求BE的长；（3）当OE=2OA时，将△FOE绕点O逆时针旋转到△F1OE1，使得∠BOE1=30时，试猜想并证明△AOE1是什么三角形。18．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD的延长线上，且EA⊥CF，垂足为H，AE与CD相交于点G．（1）求证：AG=CF；（2）当点G为CD的中点时（如图1），求证：FC=FE；（3）如果正方形ABCD的边长为2，当EF=EC时（如图2），求DG的长．（备用图）ABCDO（图4）ABCDEFO图1图2ABCDEFHGABCDEFHG答案1．证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠B=∠D=90°…………………………（2分）∵∠BAE=∠DAF∴△ABE≌△ADF……………………………………………………………（1分）∴BE=DF……………………………………………………………………（2分）（2）∵正方形ABCD，∴∠BAC=∠DAC………………………………………（1分）∵∠BAE=∠DAF∴∠EAO=∠FAO……………………………………（1分）∵△ABE≌△ADF∴AE=AF…………………………………………（1分）∴EO=FO，AO⊥EF…………………………………………………………（2分）∵OM=OA∴四边形AEMF是平行四边形……………………………（1分）∵AO⊥EF∴四边形AEMF是菱形……………………………………（1分）2．（1）证明：联结EG，∵梯形ABCD中，ADBC∥，且E、G分别是AB、CD的中点，∴EG//BC，且)(21BCADEG，…………………………（2分）又∵)(21BCADBF∴EG=BF．……………………………………………………（1分）∴四边形AEFG是平行四边形．…………………（2分）（2）证明：设AF与EG交于点O，∵EG//AD，∴∠DAG=∠AGE∵AG平分FAD，∴∠DAG=∠GAO∴∠GAO=∠AGE∴AO=GO．………………………………（2分）∵四边形AEFG是平行四边形，∴AF=EG，四边形AEFG是矩形…………………………（2分）3．证明：（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC∴∠BAE=∠ADF………………………………………………（1分）∵AD=DC∴AE=DF…………………………………………（1分）∵BA=AD∴△BAE≌△ADF，…………………………………（1分）∴BE=AF．…………………………………………………………（1分）（2）猜想∠BPF=120°．……………………………………………………（1分）∵由（1）知△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．…………………（1分）∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．……………………………………（1分）而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴=120°．∴∠BPF=∠BAE=120°．………………………………………………（1分）4、证：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC.∴∠DAC=∠BCA.又∵DN⊥AC，BM⊥AC，∴∠DNA=∠BMC.∴⊿DAN≌⊿BCM,---------------------------------------------------（3分）∴AN=CM.---------------------------------------------------------------（1分）（2）联结BD交AC于点O，∵AN=NM=2,∴AC=BD=6,又∵四边形ABCD是矩形，∴AO=DO=3，在⊿ODN中，OD=3，ON=1，∠OND=90,∴DN=2222ONOD,--------------------------------------（2分）∴矩形ABCD的面积=212DNAC.-----------------------（1分）5.解：（1）方法1：延长EF交AD于G（如图1）.……………1分在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BCAD.∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形.∴CEAG.……………1分又∵BCCE21，BCAD，∴GDADBCCEAG2121.……………1分∵AD∥BC，∴ECFADC.在CEF△和DGF△中，∵DFGCFE，ECFADC，DGCE，∴CEF△≌DGF△（A.A.S）.∴DFCE.…………………1分∵四边形ABCD是平行四边形，∴ODOB.∴OF∥BE.………………1分方法2：将线段BC的中点记为G，联结OG（如图2）.………………1分∵四边形ABCD是平行四边形，∴ODOB.∴OG∥CD.…………1分∴FCEOGC.∵EF∥CA，∴FECOCG.∵BCGC21，BCCE21，∴CEGC.AB（第5题图1）DCOEFGAB（第5题图2）DCOEFG在OGC△和FCE△中，∵FECOCG，CEGC，FCEOGC，∴OGC△≌FCE△（A.S.A）.…………………1分∴FCOG.又∵OG∥CF，∴四边形OGCF是平行四边形.…………………1分∴OF∥GC.…………………1分其他方法，请参照上述标准酌情评分.（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形.……………1分∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形.∴OCEF.……………1分又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴EFBO.∴OCOB.（备注：使用方法2的同学也可能由OGC△≌FCE△找到解题方法；使用方法1的同学也可能由四边形ACEG是平行四边形找到解题方法）.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OCAC2，BOBD2.∴BDAC.……………1分∴平行四边形ABCD是矩形.……………1分6．证明：（1）∵在正方形ABCD中，AD//BC，∴∠A=∠HBE，∠ADE=∠H，…（1分）∵AE=BE，∴△ADE≌△BHE．………………………………………（1分）∴BH=AD=BC．…………………………………………………………（1分）∵CM=GM，∴BM//GH．………………………………………………（1分）（2）∵在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠A=∠ADC=90º，