全国中学生数学竞赛加试模拟训练题

加试模拟训练题1、一圆O切于两条平行线12,ll，第二个圆1O切1l于A，外切O于C，第三个圆O2切2l于B，外切O于D，外切O1于E，AD交BC于Q，求证Q是CDE的外心。2．已知).(131211*Nnnan试证：当2n时，.1)32(2322nnaaaann3．平面上给定4n+1个点，任意三点不共线，证明：可以用其中的4n个点组成2n对，连接每对点的2n条线段至少有n个不同的交点．4．1987可以在b进制中写成三位数xyz，如果7891zyx，试确定所有可能的zyx,,,和b。加试模拟训练题（13）1、一圆O切于两条平行线12,ll，第二个圆1O切1l于A，外切O于C，第三个圆O2切2l于B，外切O于D，外切O1于E，AD交BC于Q，求证Q是CDE的外心。证明由1AO∥2BO，知12 AOEBOE，从而有12AEOBEO，即,,AEB三点共线。同理由OF∥2BO，可得,,BDF三点共线。又因为211118018022EDBEOBAOEEAF，所以,,,AEDF四点共圆，BEBABDBF，即点B在1O与O的根轴上。又因为C在1O与O的根轴上，所以BC是1O与O的根轴。同理AD是2O与O的根轴，因此Q为根心，且有QCQDQE，即Q是CDE的外心。2．已知).(131211*Nnnan试证：当2n时，.1)32(2322nnaaaann证明：（1）当2n时，左边=;49)211(222a右边=;221232122222aa249，所以，所证不等式成立.（2）假设)2(kkn时不等式成立，即kkaaaakk1)32(2322成立.当1kn时，22221)1(112)11(kkaakaakkkk2132)1(11)11(21)32(2kkkakkaaakk2132)1(11)132(2kkkakaaakk22132)1(1)132(2kkkkkakaaakk22132)1()132(2kkkkkakaaakk,11)132(2132kkakaaakk所以，当1kn时，不等式也成立.由（1）、（2）可知，当2,nNn时，所证不等式成立.3．平面上给定4n+1个点，任意三点不共线，证明：可以用其中的4n个点组成2n对，连接每对点的2n条线段至少有n个不同的交点．解：利用数学归纳法，当n=1时，五个点A、B、C、D、E的凸包分凸五边形、四边形、三角形，假设当n=4k+1时命题成立，那么由于平面内有限点的连线是有限多条，因此，存在一条直线L，它与给定点中任意两点的连线均不平行，将L平行移动，最初给定点在L的同一侧，经过平行移动可以使L的另一侧给定点的个数由0逐渐增加至5，我们开始时就选取这5个点，这5个点中两对点所成的两条线段的交点为M，剩下的1个点与其余4(n-1)个点，根据归纳假设它们可产生n-1个不同交点．这n-1个交点与M位于直线L的两侧，从而得到n个不同的交点．得证．4．1987可以在b进制中写成三位数xyz，如果7891zyx，试确定所有可能的zyx,,,和b。（1987年加拿大数学竞赛试题）解：易知25,19872zyxxb，从而162)1()1(2bybx，即109321962])1)[(1(2yxbb，由10b知91b。由119622b知451963b故4519b；又因为1093219622有12个正约数，分别为1,2，3,6，9,18,109,218,327,654,981,1962，所以181b，从而19b。又由1119919519872知.11,9,5zyxABCDE取ADEC四点ABCDE取BCDE四点