全国高中数学联赛模拟试题3

全国高中数学联赛模拟试题（三）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、若集合S＝{n|n是整数，且22n＋2整除2003n＋2004}，则S为（A）空集（B）单元集（C）二元集（D）无穷集2、若多项式x2－x＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax＋b（a、b皆为常数）．则a＋b等于（A）0（B）－1（C）1（D）23、设a是整数，关于x的方程x2＋(a－3)x＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且tan(arctanx1＋arctanx2)也是整数．则这样的a的个数是（A）0（B）1（C）2（D）44、设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V2．则12VV为（A）21（B）32（C）常数，但不等于21和32（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A）1001（B）1010（C）1011（D）10136、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A）36（B）37（C）48（D）49二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若直线xcos＋ysin＝cos2－sin2（0＜＜）与圆x2＋y2＝41有公共点，则的取值范围是．2、在平面直角坐标系xOy中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x轴相切．则此圆的半径等于．3、若常数a使得关于x的方程lg(x2＋20x)－lg(8x－6a－3)＝0有惟一解．则a的取值范围是．4、f(x)＝82x＋xcosx＋cos(2x)(x∈R)的最小值是．5、若k是一个正整数，且2k整除20034006400624006124006040063C3C3CCii则k的最大值为．6、设ABCD为凸四边形，AB＝7，BC＝4，CD＝5，DA＝6，其面积S的取值范围是(a,b]．则a＋b＝．三、（20分）设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l，点P在椭圆上．作PQ⊥l，Q为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．四、（20分）设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,…．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．五、（20分）试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x的方程x4＋(2b－a2)x2－2ax＋b2－1＝0的各个根均是整数．第二试一、（50分）点P在△ABC内，且∠BAP＝∠CAP，连结BP并延长交AC于点Q．设∠BAC＝60°，且PQPCBP111．求证：P是△ABC的内心．二、（50分）设正数a、b满足2ba且使得关于x的不等式1x≥bxa1总有实数解．试求f(a,b)＝a2－3ab＋b2的取值范围．三、（50分）试求出正整数k的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k个整数a1,a2,…,ak（允许相等），必定存在相应的k的整数x1,x2,…,xk（也允许相等），且|xi|≤2(i＝1,2,…,k)，|x1|＋|x2|＋…＋|xk|≠0，使得2003整除x1a1＋x2a2＋…＋xkak．参考答案第一试一、选择题：题号123456答案CCBADC二、填空题：1、65,323,6；2、5615；3、21,6163；4、－1；5、2004；6、2102．三、1,21e．四、a2n＝2n+2－2n－3；a2n+1＝3×2n+1－2n－4．五、(a,b)＝(2l―1,l2―l―1)(l∈Z)第二试一、证略（提示：将条件变形为PQPCPBPAPAPC1，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC＝120°，利用同一法即证）；二、(－∞，－1)．三、kmin＝7．