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中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1.已知非零实数a,b满足2242(3)42ababa,则ab等于().(A)-1(B)0(C)1(D)22.如图,菱形ABCD的边长为a,点O是对角线AC上的一点,且OA=a,OB=OC=OD=1,则a等于().(A)512(B)512(C)1(D)23.将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组322axbyxy,只有正数解的概率为().(A)121(B)92(C)185(D)36134.如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,90B.动点P从点B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y.把y看作x的函数,函数的图象如图2所示,则△ABC的面积为().(A)10(B)16(C)18(D)32(第4题)(第2题)图1图25.关于x,y的方程22229xxyy的整数解(x,y)的组数为().(A)2组(B)3组(C)4组(D)无穷多组二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6.一个自行车轮胎,若把它安装在前轮,则自行车行驶5000km后报废;若把它安装在后轮,则自行车行驶3000km后报废,行驶一定路程后可以交换前、后轮胎.如果交换前、后轮胎,要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废,那么这辆车将能行驶km.7.已知线段AB的中点为C,以点A为圆心,AB的长为半径作圆,在线段AB的延长线上取点D,使得BD=AC;再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与⊙A分别相交于F,G两点,连接FG交AB于点H,则AHAB的值为.8.已知12345aaaaa,,,,是满足条件123459aaaaa的五个不同的整数,若b是关于x的方程123452009xaxaxaxaxa的整数根,则b的值为.9.如图,在△ABC中,CD是高,CE为ACB的平分线.若AC=15,BC=20,CD=12,则CE的长等于.10.10个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是:每个人心里都想好一个数,并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人,然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图所示,则报3的人心里想的数是.三、解答题(共4题,每题20分,共80分)11.函数22(21)yxkxk的图象与x轴的两个交点是否都在直线1x的(第10题)(第7题)(第9题)右侧?若是,请说明理由;若不一定是,请求出两个交点都在直线1x的右侧时k的取值范围.12.在平面直角坐标系xOy中,我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”,求二次函数2(90)4907yx的图象上所有“好点”的坐标.13.如图,给定锐角三角形ABC,BCCA,AD,BE是它的两条高,过点C作△ABC的外接圆的切线l,过点D,E分别作l的垂线,垂足分别为F,G.试比较线段DF和EG的大小,并证明你的结论.14.n个正整数12naaa,,,满足如下条件:1212009naaa;且12naaa,,,中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数.求n的最大值.答案1.【答】C.解:由题设知a≥3,所以,题设的等式为22(3)0bab,于是32ab,,从而ab=1.2.【答】A.解:因为△BOC∽△ABC,所以BOBCABAC,即11aaa,所以,210aa.由0a,解得152a.3.【答】D.解:当20ab时,方程组无解.(第13题)当02ba时,方程组的解为62,223.2bxabayab由已知,得,0232,0226baabab即,3,23,02baba或.3,23,02baba由a,b的实际意义为1,2,3,4,5,6,可得2345612ab,,,,,,,共有5×2=10种情况;或1456ab,,,,共3种情况.又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况,故所求的概率为3613.4.【答】B.解:根据图像可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求得AB=8,故S△ABC=12×8×4=16.5.【答】C.解:可将原方程视为关于x的二次方程,将其变形为22(229)0xyxy.由于该方程有整数根,则判别式≥0,且是完全平方数.由2224(229)7116yyy≥0,解得2y≤11616.577.于是2y01491611610988534显然,只有216y时,4是完全平方数,符合要求.当4y时,原方程为2430xx,此时121,3xx;当y=-4时,原方程为2430xx,此时341,3xx.所以,原方程的整数解为111,4;xy223,4;xy331,4;xy443,4.xy6.【答】3750.解:设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为5000k,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为3000k.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm,交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kxkykkykxk两式相加,得()()250003000kxykxyk,则237501150003000xy.7.解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF,EF.由题设知13ACAD,13ABAE,在△FHA和△EFA中,90EFAFHA,FAHEAF所以Rt△FHA∽Rt△EFA,AHAFAFAE.而AFAB,所以AHAB13.8.【答】10.解:因为123452009bababababa,且12345aaaaa,,,,是五个不同的整数,所有12345bababababa,,,,也是五个不同的整数.又因为2009117741,所以1234541bababababa.由123459aaaaa,可得10b.9.【答】6027.解:如图,由勾股定理知AD=9,BD=16,所以AB=AD+BD=25.故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形,且90ACB.作EF⊥BC,垂足为F.设EF=x,由1452ECFACB,得CF=x,于是BF=20-x.由于EF∥AC,所以EFBFACBC,即201520xx,解得607x.所以60227CEx.10.【答】2.解:设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8x.于是报7的人心里想的数是12(8)4xx,报9的人心里想的数是16(4)12xx,报1的人心里想的数是20(12)8xx,报3的人心里想的数是4(8)4xx.所以4xx,解得2x.11.解:不一定,例如,当k=0时,函数的图象与x轴的交点为(0,0)和(1,0),不都在直线1x的右侧.………………5分设函数与x轴的两交点的横坐标为12,xx,则21212(21),xxkxxk,当且仅当满足如下条件12120,(1)(1)0,(1)(1)0xxxx≥………………10分时,抛物线与x轴的两交点都在直线1x的右侧.由222(21)40,210,20,kkkkk≥解之,得1,41,220.kkkk≤或………………15分所以当2k时,抛物线与x轴的两交点在直线1x的右侧.………………20分12.解:设2,ym22(90)xk,m,k都是非负整数,则22770114907km,即()()770114907kmkm.……………10分则有701,4907,7;1.kmkmkmkm解得1212354,2454,347;2453.kkmm所以312412342544,444,264,2364,120409;120409;6017209;6017209.xxxxyyyy故“好点”共有4个,它们的坐标是:4441204092641204092544601720923646017209(,),(,),(,),(,).………………20分13.解法1:结论是DFEG.下面给出证明.………………5分因为FCDEAB,所以Rt△FCD∽Rt△EAB.于是可得CDDFBEAB.同理可得CEEGADAB.………………10分又因为tanADBEACBCDCE,所以有BECDADCE,于是可得DFEG.………………20分(第13题)解法2:结论是DFEG.下面给出证明.………………5分连接DE,因为90ADBAEB,所以A,B,D,E四点共圆,故CEDABC.………………10分又l是⊙O的过点C的切线,所以ACGABC.………………15分所以,CEDACG,于是DE∥FG,故DF=EG.………………20分14.解:设12naaa,,,中去掉ia后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数ib,12in,,,.即12()1niiaaaabn.于是,对于任意的1≤ij≤n,都有1jiijaabbn,从而1()jinaa.………………5分由于11200811nnaabbnn是正整数,故312251n.………………10分由于112211nnnnnaaaaaaa≥2111(1)nnnn,所以,2(1)n≤2008,于是n≤45.结合312251n,所以,n≤9.………………15分另一方面,令123801,811,821aaa,…,8871a,982511a,则这9个数满足题设要求.综上所述,n的最大值为9.………………20分(第13题)
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