历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(3)

历年(95-10)年全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(3)计算题(9道题)1、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1，∠A=900，点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，求△CEF的面积。1998年全国数学联赛试卷解法1过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，∵∠ABE+∠AEB=90°，∠CED+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠CED．于是Rt△ABE∽△CED，又∠ECF=∠DCF=45°，所以，CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等．解法2作FH⊥CE于H，设FH=h．ABCEF∵∠ABE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠FEH．∴Rt△EHF∽Rt△BAE．即EH=2h，又∵HC=FH，2．如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．1999年全国初中数学竞赛解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．∵AB=BD，O是圆心，∴BH⊥AD．又∵∠ADC=90°，∴BH∥CD．从而△OPB∽△CPD．，∴CD=1．于是AD=．又OH=CD=，于是AB=，BC=．所以，四边形ABCD的周长为．3、如图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积。2000全国初中数学竞赛试题解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝3。∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。∴，∵E是AC的中点，∴，，∴，∴4．如图所示，⊙O的直径的长是关于x的二次方程0)2(22kxkx（k是整数）的最大整数根.P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与⊙O的交点.若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求222PCPBPA的值.BOPAC2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题解：设方程0)2(22kxkx的两个根为1x，2x，1x≤2x.由根与系数的关系得kxx2421，①kxx21.②_B_O_C_P_A由题设及①知，1x，2x都是整数.从①，②消去k，得422121xxxx，9)12)(12(21xx.由上式知，42x，且当k=0时，42x，故最大的整数根为4.于是⊙O的直径为4，所以BC≤4.因为BC=PC－PB为正整数，所以BC=1，2，3或4.……（6分）连结AB，AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，PAPCPBPA。故)(2BCPBPBPA③……（10分）（1）当BC=1时，由③得，PBPBPA22，于是222)1(PBPAPB，矛盾！（2）当BC=2时，由③得，PBPBPA222，于是222)1(PBPAPB，矛盾！（3）当BC=3时，由③得，PBPBPA322，于是PBPBPAPBPA3))((，由于PB不是合数，结合PBPAPBPA，故只可能,3,1PBPBPAPBPA,,3PBPBPAPBPA,3,PBPAPBPBPA解得.1,2PBPA此时21222PCPBPA.（4）当BC=4，由③得，PBPBPA422，于是2222)2(4)1(PBPAPBPBPB，矛盾.综上所述21222PCPBPA5．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得ACBADP，求PDPB的值.2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题解：连结AP，则ADPACBAPB，所以，△APB∽△ADP∴ADAPAPAB，所以223ADADABAP，∴ADAP3，所以3ADAPPDPB.6．如图，已知直径与等边三角形ABC的高相等的圆AB和BC边相切于点D和E，与AC边相交于点F和G，求∠DEF的度数。2007年浙江省初中数学竞赛试题7．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题解.存在满足条件的三角形.△ABC的边a＝6，b＝4，c＝5，且∠A＝2∠B，证明略8.如图，圆O与圆D相交于,AB两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且ABBC.（1）证明：点O在圆D的圆周上.（2）设△ABC的面积为S，求圆D的的半径r的最小值.2008年全国初中数学联合竞赛试题解（1）连,,,OAOBOCAC，因为O为圆心，ABBC，所以△OBA∽△OBC，从而OBAOBC.FMDCBA因为,ODABDBBC，所以9090DOBOBAOBCDBO，所以DBDO，因此点O在圆D的圆周上.（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，易知BEAC.设2ACy(0)ya，OEx，ABl，则222axy，()Syax，22222222()2222()aSlyaxyaaxxaaxaaxy.因为22ABCOBAOABBDO,ABBC,DBDO，所以△BDO∽△ABC，所以BDBOABAC，即2raly，故2alry.所以22223222()4422alaaSSaSryyyy，即22Sr，其中等号当ay时成立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为22S.9．如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．2009年全国初中数学联合竞赛试题解法1：结论是DFEG．下面给出证明因为FCDEAB，所以Rt△FCD∽Rt△EAB．于是可得CDDFBEAB．同理可得CEEGADAB．又因为tanADBEACBCDCE，所以有BECDADCE，于是可得DFEG．解法2：结论是DFEG．下面给出证明．连接DE，因为90ADBAEB，所以A，B，D，E四点共圆，故CEDABC．又l是⊙O的过点C的切线，所以ACGABC．所以，CEDACG，于是DE∥FG，故DF＝EG．