江苏高中数学竞赛

江苏高中数学竞赛一．选择题(本题满分36分,每小题6分)1.函数()yfx的图像按向量(,2)4a平移后,得到的图像的解析式为sin()24yx.那么()yfx的解析式为[B]A.sinyxB.cosyxC.sin2yxD.cos4yx2.如果二次方程20(,xpxqpqN*)的正根小于3,那么这样的二次方程有[C]A.5个B.6个C.7个D.8个3.设0ab,那么21()abab的最小值是[C]A.2B.3C.4D.54.设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面[D]A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个5.设数列{}na:01212,16,1663nnnaaaaa,nN*,则2005a被64除的余数为[C]A.0B.2C.16D.486.一条走廊宽2m,长8m,用6种颜色的11m2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的,每种颜色的地砖都足够多),要求相邻的两块地砖颜色不同,那么所有的不同拼色方法有答:[D]A.830个B.73025个C.73020个D.73021个二．填空题(本题满分36分,每小题6分)7.设向量OA绕点O逆时针旋转2得向量OB,且2(7,9)OAOB,则向量OB（－115，235）.8.设无穷数列{}na的各项都是正数,nS是它的前n项之和,对于任意正整数n,na与2的等差中项等于nS与2的等比中项,则该数列的通项公式为an=4n－2(n∈N*).9.函数xxxy(|2cos||cos|R)的最小值是22.10.在长方体1111ABCDABCD中,12,1ABAAAD,点E、F、G分别是棱1AA、11CD与BC的中点,那么四面体1BEFG的体积是VB1－EFG=38.11.由三个数字1、2、3组成的5位数中,1、2、3都至少出现1次,这样的5位数共有150个.12.已知平面上两个点集22{(,)||1|2(),,MxyxyxyxyR},{(,)||||1|1,,NxyxayxyR}.若MN,则a的取值范围是[1－6，3+10]．三．解答题(第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)[13.已知点M是ABC的中线AD上的一点,直线BM交边AC于点N,且AB是NBC的外接圆的切线,设BCBN,试求BMMN(用表示).证明：在BCN中，由Menelaus定理得1BMNACDMNACDB．因为BDDC，所以BMACMNAN．………………6分由ABNACB，知ABN∽ACB，则ABACCBANABBN．所以，2ABACCBANABBN，即2BNBCANAC．……………………12分因此，2BNBCMNBM．又BCBN，故2BMMN．……………………15分14.求所有使得下列命题成立的正整数(2)nn:对于任意实数12,,,nxxx,当10niix时,总有110niiixx(其中11nxx).解：当2n时，由120xx，得21221120xxxxx．所以2n时命题成立.……………………3分ABCDNM当3n时，由1230xxx，得2222123123122331()()2xxxxxxxxxxxx222123()02xxx.所以3n时命题成立.…………………6分当4n时，由12340xxxx，得212233441132424()()()0xxxxxxxxxxxxxx．所以4n时命题成立．………………9分当5n时，令121xx，42x，350nxxx,则10niix.但是,1110niinxx，故对于5n命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是2,3,4n.……………15分15.设椭圆的方程为22221(0)xyabab,线段PQ是过左焦点F且不与x轴垂直的焦点弦.若在左准线上存在点R,使PQR为正三角形,求椭圆的离心率e的取值范围,并用e表示直线PQ的斜率.解：如图,设线段PQ的中点为M．过点P、M、Q分别作准线的垂线,垂足分别为'P、'M、'Q,则11|||||||'|(|'||'|)()222PFQFPQMMPPQQeee．……………6分假设存在点R，则3||||2RMPQ，且|'|||MMRM，即||3||22PQPQe，所以，33e．于是，ePQePQRMMMRMM31||322|||||'|'cos，故P’M‘MFRPQOxyQ＇21cot'31RMMe．若||||PFQF(如图)，则131'cot'tantan2eRMMFMMQFxkPQ.……………18分当33e时,过点F作斜率为2131e的焦点弦PQ,它的中垂线交左准线于R,由上述运算知,3||||2RMPQ．故PQR为正三角形.…………21分若||||PFQF，则由对称性得2131PQke．………………24分又1e,所以，椭圆22221(0)xyabab的离心率e的取值范围是3(,1)3e，直线PQ的斜率为2131e．16.(1)若(nnN*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005,求n的最小值,并说明理由；(2)若(nnN*)个棱长为正整数的正方体的体积之和等于20022005,求n的最小值,并说明理由.解：(1)因为3333101000,111331,121728,132197,3312200513，故1n.因为3333200517281251252712553，所以存在4n，使min4n若2n，因3310102005,则最大的正方体边长只能为11或12，计算33200511674,200512277，而674与277均不是完全立方数,所以2n不可能是n的最小值.若3n，设此三个正方体中最大一个的棱长为x,由328320053x,知最大的正方体棱长只能为9、10、11或12.由于3932005,5479220053,0829200533,所以9x.由于510220053,332005109276,332005108493,07210200533,所以10x.由于332005118162,332005117331,06211200533,所以11x.由于33200512661,33320051251525,所以12x.因此3n不可能是n的最小值.综上所述，4n才是n的最小值.………………12分(2)设n个正方体的棱长分别是12,,,nxxx，则3332005122002nxxx．……………⑤由20024(mod9)，341(mod9)，得20052005668313668200244(4)44(mod9)．……⑥……15分又当xN*时，30,1(mod9)x，所以31x≡∕4(mod9)，3312xx≡∕4(mod9)，333123xxx≡∕4(mod9).…⑦……………21分⑤式模9,由⑥、⑦可知,4n．而33332002101011，则2005200433336683333320022002(101011)(2002)(101011)6683668366836683(200210)(200210)(2002)(2002)．……24分因此4n为所求的最小值．2008年一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1.如果实数m，n，x，y满足anm22，byx22，其中a，b为常数，那么mx+ny最大值为答：[B]A.2baB.abC.222baD.222ba2.设)(xfy为指数函数xay.在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，41,21N四点中，函数)(xfy与其反函数)(1xfy的图像的公共点只可能是点答：[D]A.PB.QC.MD.N3.在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么zyx的值为答：[A]A.1B.2C.3D.44.如果111CBA的三个内角的余弦值分别是222CBA的三个内角的正弦值，那么答：[B]A.111CBA与222CBA都是锐角三角形B.111CBA是锐角三角形，222CBA是钝角三角形C.111CBA是钝角三角形，222CBA是锐角三角形D.111CBA与222CBA都是钝角三角形5.设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，答：[D]A.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6.设集合222xxBxxxA和，其中符号x表示不大于x的最大整120.51xyz数，则3,1BA.7.同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是21691P(既约分数）.8.已知点O在ABC内部，022OCOBOA.OCBABC与的面积之比为5：1.9.与圆0422xyx外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程为)0(82xxy或)0(0xy.10.在ABC中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则222cba=3.三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11.已知函数cbxxxf22)(在1x时有最大值1，nm0，并且nmx,时，)(xf的取值范围为mn1,1.试求m，n的值.解由题1)1(2)(2xxf，1)(xf，11m，即1m，nmxf,)(在上单调减，mmmf11)1(2)(2且nnnf11)1(2)(2.m，n是方程xxxf11)1(2)(2的两个解，方程即)122)(1(2xxx=0，解方程，得解为1，231，231.nm1，1m，231n.BOCA12.A、B为双曲线19422yx上的两个动点，满足0OBOA。（Ⅰ）求证：2211OBOA为定值；（Ⅱ）动点P在线段AB上，满足0ABOP，求证：点P在定圆上.证（Ⅰ）设点A的坐标为)sin,cos(rr，B的坐标为)sin,cos(rr，则OAr，OBr，A在双曲线上，则19sin4cos222r.所以9sin4cos1222r.由0OBOA得OBOA，所以22sincos，22sincos.同理，9cos4sin9sin4cos122222r，所以3659141'11||1||12222rrOBOA.（Ⅱ）由三角形面积公式，得OBOAABOP，所以2222OBOAABOP，即22222OBOAOBOAOP.即136591411122222OPOPOBOAOP.于是，5362OP.即P在以O为圆心、556为半径的定圆上.……15分13.如图，平面M、N相交于直线l.A、D为l上两点，射线DB在平面M内，射线DC在平面N内.已知BDC，BDA，CDA，且，，都是锐角.求二面角NlM的平面角的余弦值（用，，的三角函数值表示）.解在平面M中，过A作DA的垂线，交射线DB于B点；在平面N中，过A作DA的垂线，交射线DC于C点.设DA=1，则tan