集合(高一数学竞赛讲稿)

第一讲：集合集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。1．集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1）确定性设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与aA仅有一种情况成立。（2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素.（3）无序性2．集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：RQZN,,,应熟记。3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。4．子集、真子集及相等集（1）ABAB或A＝B；（2）ABAB且A≠B；（3）A＝BAB且AB。5．一个n阶集合（即由个元素组成的集合）有n2个不同的子集，其中有n2－1个非空子集，也有n2－1个真子集。6．集合的交、并、补运算AB={Axx|且Bx}AB={Axx|或Bx}IxxA|{且Ax}要掌握有关集合的几个运算律：（1）交换律AB＝BA，AB＝BA；（2）结合律A（BC）＝（AB）C，A（BC）＝(AB)C；（3）分配律A（BC）＝（AB）（AC）A（BC）＝(AB)（AC）（4）0—1律A＝A，AI＝AAI＝I，A＝（5）等幂律AA＝A，AA＝A（6）吸收律A(AB)＝A，A（AB）＝A（7）求补律AA＝I，AA＝（8）反演律BABABABA,7．有限集合所含元素个数的几个简单性质设)(Xn表示集合X所含元素的个数（1）)()()()(BAnBnAnBAn当)(BAn时，)()()(BnAnBAn（2）)()()()(CnBnAnCBAn－)()()()(CBAnCBnCAnBAn8．映射、一一映射、逆映射（1）映射设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f：A→B。上述映射定义中的A、B，可以是点集，数集，也可以是其他集合。和A中元素a对应的B中的元素b叫做a（在f下）的象，a叫做b的原象。A中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的。（2）一一映射设A、B是两个集合，f：A→B是从集合A到集合B的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射。（3）逆映射设f：A→B是集合A到集合B上的一一映射，如果对于B中的每一个元素b，使b在A中的原象a和它对应，这样所得映射叫做映射f：A→B的逆映射，记作1f：B→A。注意：只有一一映射，才有逆映射。要能够根据这三个概念的定义，准确地判断一个给定的对应是不是映射，是不是一一映射，并能求出一一映射的逆映射。解题指导元素与集合的关系1．设A＝{a|a＝22yx,Zyx,}，求证：（1）12k∈A(Zk)；（2）)(24ZkAk分析：如果集合A＝{a|a具有性质p}，那么判断对象a是否是集合A的元素的基本方法就是检验a是否具有性质p。解：（1）∵k,1k∈Z且12k＝22)1(kk,故12k∈A；（2）假设)(24ZkAk，则存在Zyx,，使24k＝22yx即)12(2))((kyxyx(*)由于yx与yx具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此，)(24ZkAk。2．设集合A＝（－3，2）。已知Nyx,，x＞y,xyyx191933,判断a＝)(log21yx与集合A的关系。分析：解决本题的关键在于由已知条件确定yx的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定a＝)(log21yx的范围。解：因为)(1933yxyx且Nyx,，x＞y，所以xx2＜222319xyxyx由此及Nx得x=3,从而y=2.所以－3＜a＝25log)23(log2121,即a∈A。3．以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②P中的元素有奇数,有偶数；③－1P；④若x，y∈P,则x＋y∈P试判断实数0和2与集合P的关系。解：由④若x，y∈P,则x＋y∈P可知，若x∈P，则)(NkPkx（1）由①可设x，y∈P，且x＞0，y＜0，则－yx＝|y|x(|y|∈N)故xy,－yx∈P,由④,0＝(－yx)+xy∈P。（2）2P。若2∈P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当－（12k）∈P（Nk）时，－1＝（－12k）＋k2∈P，与③矛盾。于是，由②知P中必有正奇数。设),(12,2NnmPnm，我们取适当正整数q，使12|2|nmq，则负奇数Pnqm)12(2。前后矛盾。4．设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a∈S，b∈S，则a+b∈S，Sab；②对任一个有理数r，三个关系r∈S，－r∈S，r＝0有且仅有一个成立。证明：S是由全体正有理数组成的集合。证明：设任意的r∈Q，r≠0,由②知r∈S，或－r∈S之一成立。再由①，若r∈S，则Sr2；若－r∈S，则Srrr)()(2。总之，Sr2。取r=1，则1∈S。再由①，2=1+1∈S，3=1+2∈S，…，可知全体正整数都属于S。设Sqp,，由①Spq，又由前证知Sq21，所以21qpqqp∈S。因此，S含有全体正有理数。再由①知，0及全体负有理数不属于S。即S是由全体正有理数组成的集合。两个集合之间的关系在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。5．设函数),()(2Rbabaxxxf，集合}),(|{RxxfxxA，})],([|{RxxffxxB。（1）证明：BA；（2）当}3,1{A时，求B。（3）当A只有一个元素时，求证：BA．解：（1）设任意0x∈A，则0x＝)(0xf.而000)()]([xxfxff故0x∈B,所以BA.（2）因}3,1{A，所以3331)1()1(22baba解得3,1ba故3)(2xxxf。由)]([xffx得03)3()3(222xxxxx解得3,3,1xB＝{}3,3,3,1。6．321,,SSS为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列kji,,，若jiSySx,，则kSyx（1）证明：三个集合中至少有两个相等。（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：（1）若jiSySx,，则ikSxyxySxy)(,所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。否则，设321,,SSS中的最小正元素为a，不妨设1Sa，设b为32,SS中最小的非负元素，不妨设,2Sb则b－a∈3S。若b＞0,则0≤b－a＜b，与b的取法矛盾。所以b=0。任取,1Sx因0∈2S,故x－0＝x∈3S。所以1S3S，同理3S1S。所以1S=3S。（3）可能。例如1S=2S={奇数}，3S={偶数}显然满足条件，1S和2S与3S都无公共元素。7．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22yxyxCayxyxByaxyxA问（1）当a取何值时，CBA)(为含有两个元素的集合？（2）当a取何值时，CBA)(为含有三个元素的集合？解：CBA)(=)()(CBCA。CA与CB分别为方程组（Ⅰ）1122yxyax（Ⅱ）1122yxayx的解集。由（Ⅰ）解得（yx,）=（0，1）=（212aa，2211aa）；由（Ⅱ）解得（yx,）=（1，0），（2211aa，212aa）（1）使CBA)(恰有两个元素的情况只有两种可能：①111012222aaaa②011112222aaaa由①解得a=0；由②解得a=1。故a=0或1时，CBA)(恰有两个元素。（2）使CBA)(恰有三个元素的情况是：212aa=2211aa解得21a，故当21a时，CBA)(恰有三个元素。8．设Nn且n≥15，BA,都是{1，2，3，…，n}真子集，BA，且BA={1，2，3，…，n}。证明：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数。证明：由题设，{1，2，3，…，n}的任何元素必属于且只属于它的真子集BA,之一。假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，n}的真子集BA,，使得无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。不妨设1∈A，则3A，否则1+3=22，与假设矛盾，所以3∈B。同样6B，所以6∈A，这时10A，，即10∈B。因n≥15，而15或者在A中，或者在B中，但当15∈A时，因1∈A，1+15=24，矛盾；当15∈B时，因10∈B，于是有10+15=25，仍然矛盾。因此假设不真。即结论成立。第二讲映射与函数[知识要点]1．映射有关概念2．函数定义，定义域、值域[能力训练]1．合BA,的并集321,,aaaBA，当BA时，),(BA与),(AB视为不同的对，则这样的),(BA对的个数为（）（1993年全国高中数学联赛试题）（A）8（B）9（C）26（D）27[解法一]：若321,,aaaA，则满足题意的B有：;,,;,;,;,;;;;321323121321aaaaaaaaaaaaB即这时的配对个数有：8)(3323130333CCCCC；仿此，若21,aaA（或3231,,,aaaa），满足题意的B的个数，即配对个数有：12)(22120223CCCC；于是，全部配对个数有：2716128。[解法二]：BA且PBA的情形只有1个配对：PBPA,，而BA的配对个数必是偶数，所以全部配对个数为奇数。又粗略计数后知，配对个数不少于16，故选（D）。[评注]：两种解法反映的是一种数学思想：配对思想。解法一是分类讨论；解法二是估算法。2．设A={4321,,,aaaa}，},,,,{54321bbbbbB（1）写出一个f：AB，使得f为单射，并求所有A到B的单射的个数。（2）写出一个f：AB，使得f不是单射，并求所有这些映射的个数。（3）A到B的映射能否是满射？解：（1）作映射f：AB，使得4,3,2,1,)(ibafii则此映射即为A到B的一个单射，这种单射的个数为12045P。（2）作映射f：AB，可以先求A到B的映射的个数：分四步确定4321,,,aaaa的象，每步都有5种可能，因此所求映射的个数为45个，因此满足条件的映射的个数为45－45P=505。（3）不能。由于A中的每一个元素恰与B中的一个元素对应，|A|=4，|B|=5，所以B中至少有一个元素在A中找不到与它对应的元素，因此A到B的满射不存在。说明：一般地，若A到B有一个单射，则|A|≤|B|，若A到B有一个满射，则|A|≥|B|,若A到B有一个一一映射,则|A|=|B|思考：在上述问题中,如何求从A到B的子集上的一一映射的个数?B中的4个元素的子集共有45C个，从A到B的每4个元素的子集上的一一映射各有44P