高中物理竞赛解题方法：递推法

六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。塞题精析例1：质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；…；在nt时刻，加速度变为(n+1)a，求：（1）nt时刻质点的速度；（2）nt时间内通过的总路程。解析：根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解。（1）物质在某时刻t末的速度为vt=at2t末的速度为v2t=vt+2at即v2t=at+2at3t末的速度为v3t=v2t+3at=at+2at+3at……则nt末的速度为vnt=v(n－)t+nat=at+2at+3at+…+nat=at(1+2+3+…+n)=at12(n+1)n=12n(n+1)at（2）同理：可推得nt内通过的总路程s=112n(n+1)(2n+1)at2例2：小球从高h0=180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小1n（n=2），求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。（g取10m/s2）解析：小球从h0高处落地时，速率v0=02gh=60m/s第一次跳起时和又落地时的速率v1=0v2第二次跳起时和又落地时的速率v2=02v2……第m次跳起时和又落地时的速率vm=0mv2每次跳起的高度依次为h1=21v2g=02hn，h2=22v2g=04hn，……，通过的总路程Σs=h0+2h1+2h2+…+2hm+…=h0+022hn(1+21n+41n+…+2m21n+…)=h0+022hn1=h022n1n1=53h0=300m经过的总时间为Σt=t0+t1+t2+…+tm+…=0vg+12vg+…+m2vg+…=0vg［1+21n+…+2(1n)m+…］=0vgn1n1=03vg=18s例3：A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示。所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解。设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔Δt，在每一个Δt内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔Δt，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、…、an，显然当an→0时三只猎犬相遇。a1=a－AA1－BB1cos60°=a－32vΔta2=a1－32vΔt=a－2×32vΔta3=a2－32vΔt=a－3×32vΔt……an=a－n32vΔt因为a－n32vΔt=0，即nΔt=t所以：t=2a3v（此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解。）例4：一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析：若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同。原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在Δs的宽松距离，设火车的牵引力为F，则有：车头起动时，有：(F－μmg)Δs=12m21v拉第一节车厢时：(m+m)1v=mv1故有：21v=1421v=12(Fm－μg)Δs(F－2μmg)Δs=12×2m22v－12×2m21v拉第二节车厢时：(m+2m)2v=2mv2故同样可得：2v=4922v=23(Fm－53μg)Δs……推理可得：2nv=nn1(Fm－2n13μg)Δs由2nv＞0可得：F＞2n13μmg另由题意知F=31μmg，得：n＜46因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢。例5有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图6—2所示，人至少做多少功？解析将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算。将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为W2=mgd将第3、4、…、n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为：W3=mg2dW4=mg3dW5=mg4d……Wn=mg(n－1)d所以将n块砖叠放起来，至少做的总功为W=W1+W2+W3+…+Wn=mgd+mg2d+mg3d+…+mg(n－1)dn(n1)2mgd例6：如图6—3所示，有六个完全相同的长条薄片AiBi（i=2、4、…）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）。将质量为m的质点置于A1A6的中点处，试求：A1B1薄片对A6B6的压力。解析：本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1、A2B2、…、A5B5的受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、…A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解。以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图6—3甲所示，第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1。选碗边B点为轴，根据力矩平衡有：NiL=Ni+1L2，得：Ni=12Ni+1所以：N1=12N2=1212N3=…=(12)5N6①再以A6B6为研究对象，受力情况如图6—3乙所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1、质点向下的压力mg。选B6点为轴，根据力矩平衡有：N1L2+mg3L4=N6L②由①、②联立，解得：N1=mg42所以，A1B1薄片对A6B6的压力为mg42。例7：用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L，横截面是边长为h（h=L4）的正方形，要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），计算跨度与桥孔高度的比值。解析：为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值。将从上到下的积木块依次计为1、2、…、n，显然第1块相对第2块的最大伸出量为：Δx1=L2第2块相对第3块的最大伸出量为Δx2（如图6—4所示），则：GΔx2=(L2－Δx2)G得：Δx2=L4=L22同理可得第3块的最大伸出量：Δx3=L23……最后归纳得出：Δxn=L2n所以总跨度：k=29nn1x=11.32h跨度与桥孔高的比值为：kH=11.32h9h=1.258例8：如图6—5所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n=1、2、3、…）。每人只有一个沙袋，x＞0一侧的每个沙袋质量为m=14kg，x＜0一侧的每个沙袋质量m′=10kg。一质量为M=48kg的小车以某初速度v0从原点出发向正x轴方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍。（n是此人的序号数）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？解析：当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔。小车以初速v0沿正x轴方向运动，经过第1个（n=1）人的身旁时，此人将沙袋以u=2nv0=2v0的水平速度扔到车上，由动量守恒得：Mv0－m2v0=(M+m)v1，当小车运动到第2人身旁时，此人将沙袋以速度u′=2nv1=4v1的水平速度扔到车上，同理有：(M+m)v1－m2nv1=(M+2m)v2，所以，当第n个沙袋抛上车后的车速为vn，根据动量守恒有：［M+(n－1)m］vn－1－2nmvn－1=(M+nm)vn，即：vn=M(n1)mMnmvn－1。同理有：vn+1=M(n2)mM(n1)mvn若抛上（n+1）包沙袋后车反向运动，则应有vn＞0，vn+1＜0即：M－(n+1)m＞0，M－(n+2)m＜0由此两式解得：n＜3814，n＞2014。因n为整数，故取3。当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第n个人身旁，抛上第n包沙袋后由动量守恒定律有：［M+3m+(n－1)m′］n1v－2nm′vn－1=(M+3m+nm′)nv解得：nv=M3m(n1)mM3mnmn1v同理有：n1v=M3m(n2)mM3m(n1)mnv设抛上（n+1）个沙袋后车速反向，要求nv＞0，n1v≤0即：M3m(n1)m0M3m(n2)m0解得n7n8即抛上第8个沙袋后车就停止，所以车上最终有11个沙袋。例9：如图6—6所示，一固定的斜面，倾角θ=45°，斜面长L=2.00米。在斜面下端有一与斜面垂直的挡板。一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零。下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞。已知质点与斜面间的动摩擦因数μ=0.20，试求此质点从开始到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。解析：因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生n次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解。设每次开始下滑时，小球距档板为s，则由功能关系：μmgcosθ(s1+s2)=mg(s1－s2)sinθμmgcosθ(s2+s3)=mg(s2－s3)sinθ即有：21ss=32ss=…=sincossincos=23由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为23∴在发生第11次碰撞过程中的路程：s=s1+2s2+2s3+…+2s11=2(s1+s2+s3+…+s11)－s1=2×1112s1()3213－s1=10－12×(23)11=9.86m例10：如图6—7所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m1、m2和m3，m2=m3=2m1。小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计。开始时，三球处在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此间距离相等，m2和m3静止，m1以初速v0=R2沿槽运动，R为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T。解析：当m1与m2发生弹性碰撞时，由于m2=2m1，所以m1碰后弹回，m2向前与m3发生碰撞。而又由于m2=m3，所以m2与m3碰后，m3能静止在m1的位置，m1又以v速度被反弹，可见碰撞又重复一次。当m1回到初始位置，则系统为一个周期。以m1、m2为研究对象，当m1与m2发生弹性碰撞后，根据动量守恒定律，能量守恒定律可写出：m1v0=m1v1+m2v2①12m120v=12m121v+12m222v②由①、②式得：v1=1212mmmmv0=－13v0，v2=1122mmmv0=23v0以m2、m3为研究对象，当m2与m3发生弹性碰撞后，得v3=23v0，2v=0以m3、m1为研究对象，当m3与m1发生弹性碰撞后，得3v=0，1v=v0由此可见，当m1运动到m2处时与开