高中数学集合、逻辑、函数、向量、数列、不等式、立体几何综合测试题

高中数学集合、逻辑、函数、向量、数列、不等式、立体几何综合测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．1.若非空集合}5,4,3,2,1{S，且若Sa，则必有Sa6，则所有满足上述条件的集合S共有A．6个B．7个C．8个D．9个2.命题P：若函数fx有反函数，则fx为单调函数；命题Q：111222abcabc是不等式21110axbxc与22220axbxc(121212aabbcc，，，，，均不为零)同解的充要条件，则以下是真命题的为A．P且QB．P且QC．P或QD．P或Q3.若函数)10(log)(axxfa在区间]2,[aa上的最大值是最小值的3倍，则aA．42B．22C．41D．214.如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为A.3B.32C.32D.3左视图主视图俯视图5.已知函数bxxxf2)(的图象在点))1(,1(fA处的切线l与直线0223yx平行，若数列})(1{nf的前n项和为nS,则2012S的值为A．20102009B．20112010C．20122011D．201320126.若mbamaf2)13()(，当]1,0[m时，1)(af恒成立，则ba的最大值为A．31B．32C．35D．377.已知a、b是不共线的向量，()ABACR，，abab，那么ABC、、三点共线的充要条件为A．1B．1C．1D．28.设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（,0)()2ACABDADCDB则ABC的形状是A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形9.设函数()(sincos)(02011),xfxexxx则函数()fx的各极大值之和为A.20122(1)1eee－－B.1006(1)1eee－－C.10062(1)1eee－－D.20102(1)1eee－－10.xfy的定义域为R，且,22xfxfxfxf77在7,0上只有031ff，则xf在]2012,2012[上的零点个数为A．403B．402C．806D．80511.函数()22xxfx的反函数为)(1xf，则使不等式1()2fx成立的x的取值范围为A．15(,)4B．15[0,)4C．15(,0)4D．15(,)412.已知函数32()31fxxx，21,0()468,0xxgxxxxx，关于方程0gfxa（a为正实数）的根的叙述有下列四个命题①存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；②存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数a，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；其中真命题的个数是A．3B．2C．1D．0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内．13.定义在R上的函数()yfx是减函数，且函数(1)yfx的图象关于)0,1(成中心对称，若,st满足不等式22(2)(2)fssftt，则当14s时，ts的取值范围．14.已知等差数列{}na的首项1a及公差d都是整数，前n项和为nS，若9,3,1341Saa，设122,nnnnbabbb则的结果为．15.已知正项数列na)0*,(naNn的前n项和nS满足：12nnaS；设392nnab，则数列nb的前n项和的最大值为___________．16.如图，直线l平面，垂足为O，已知长方体1111ABCDABCD中，15,6,8AAABAD该长方体做符合以下条件的自由运动：（1）Al;（2）C,则1,CO两点间的最大距离为.三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知集合2150Axxpx，250Bxxxq，2,3,5AB，3AB，求集合A和B.PABCCB第20题图18.（本题满分12分）设数列na的前n项和为nS,21a,点(1nS,nS)在直线nnynnx2)1((*Nn)上.a1=2（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设,211nnnnnSSSST证明：.334321nTTTT19.（本题满分12分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sincoscossin------①sin()sincoscossin------②由①+②得sinsin2sincos------③令,AB有,22ABAB代入③得sinsin2sincos22ABABAB.(Ⅰ)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:coscos2sinsin22ABABAB；(Ⅱ)若ABC的三个内角,,ABC满足cos2cos21cos2ABC,试判断ABC的形状.(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)20.（本题满分12分）如图，在三棱锥ABCP中，22,4BCABACPCPBPA.（1）求证：平面ABC⊥平面APC；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角CPAM的余弦值为322，求BM的最小值.21.（本题满分12分）已知正数数列}{na和{}nb满足：对任意n，1,,nnnaba成等差数列，且总有11nnnabb成立．（1）判断数列nb是否为等差数列；（2）若1121,2,3,aba求数列}{na和{}nb的通项公式．22.（本题满分12分）已知函数xxxf2)(2,)(xg是R上的奇函数，且当]0,(x时，2)()(xxfxg．（Ⅰ）求函数)(xg在R上的解析式；（Ⅱ）若函数)()([)(xfxgxxh23]在),0(上是增函数，且0，求的取值范围．试题答案1-5BCBCD6-10DABDD11-12DA13.1[,1]214.12nn15.19016.25517.由3A，2150Axxpx，得8;p…….3分由3B，250Bxxxq，得6.q………….6分2,2,2,2,3ABABB………….8分3,3,3,5,3ABBAA……….10分18.解：（I）nnynnxSSnn21)1(),(在直线上，,111nSnSnn…………………………………………1分∴{nSn}构成以S1=a1=2为首项，公差为1的等差数列，分而时当分6*).(2,2,2)1()1(,24.,1)1(212212NnnaannnnnSSannnSnnnSnnnnnn证明：（II）nnSn2.322123)]211()4121()311[(210).1(34,0)2(4,*8,22222122122221121nnnnTTTnTTTTnnTNnnnnnnnnnTnnnn又分时取等号时分∴原不等式成立.……………………………………………………………………12分19.解法一：(Ⅰ)证明:因为cos()coscossinsin，------①cos()coscossinsin，------②…………………1分①-②得cos()cos()2sinsin.------③……………………2分令,AB有,22ABAB，代入③得coscos2sinsin22ABABAB.………………………………5分(Ⅱ)由二倍角公式,cos2cos21cos2ABC可化为22212sin12sin112sinABC,…………………………………7分所以222sinsinsinACB.…………………………………10分设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为,,abc，由正弦定理可得222acb.………………………………11分根据勾股定理的逆定理知ABC为直角三角形.…………………………………12分解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos2cos21cos2ABC可化为22sinsin112sinABABC，…………………………………7分因为A,B,C为ABC的内角，所以ABC，所以2sinsinsinABABAB.又因为0AB，所以sin0AB,所以sinsin0ABAB.从而2sincos0AB.……………………………………………10分又sin0A,所以cos0B，故2B.……………………………………11分所以ABC为直角三角形.………………………………12分20.(满分12分)解：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB∴OP⊥平面ABC,∵OP在平面PAC中，∴平面ABC⊥平面APC4分（2）以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,32),5分∴)32,2,0(),32,0,2(),0,2,2(APPBBC设平面PBC的法向量),,(1zyxn，由0,011nPBnBC得方程组0322022zxyx，取)1,3,3(1n6分∴721,cos1nAP∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为721。8分（2）由题意平面PAC的法向量)0,0,2(2OBn，ACOByx设平面PAM的法向量为)0,,(),,,(3nmMzyxn∵)0,2,(),32,2,0(nmAMAP又因为0,033nAMnAP∴0)2(0322ynmxzy取)1,3,)2(3(3mnn32213)2(32)2(32,cos232mnmnnn∴32)2(32mn∴mn2423）（11分∴B点到AM的最小值为垂直距离351052708353228d。12分21.nb是等差数列，21(1)2nbn，(1)2nnna22.