高中数学“集合与逻辑”复习

专题讲座高中数学“集合与逻辑”第一部分集合一、对“集合”教学知识的深层次理解集合概念及其基本理论，是近、现代数学的一个重要的基础．一方面，许多重要的数学分支，如高等数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在高中数学中，集合的初步知识与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它安排在高中数学起始章的原因．集合语言是现代数学的基本语言.本模块对集合的定位是将集合作为一种语言来学习，使同学们在学习过程中体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性，学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，并能在自然语言、图形语言或集合语言之间进行转换，发展运用数学语言进行交流的能力.（一）知识结构图（二）集合在高中数学知识体系中的地位和作用为了更好的把握“集合”的要求，首先需要明确整体定位.标准对“集合”这部分内容的整体定位如下：集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言.使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容.高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力.集合语言是现代数学的基本语言.在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语言的基础，因此把它安排在了高中数学的起始章．教科书从学生熟悉的集合（有理数的集合、直线或圆上的点集等）出发，结合学生身边的实例引出元素、集合的概念，介绍了表示集合的列举法和描述法及Veen图；类比实数间的相等、大小关系，通过对具体实例共性的分析、概括出了集合间的相等、包含关系；针对具体实例，通过类比实数间的加法运算引出了集合间“并”的运算，并在此基础上进一步扩展，介绍了“交”的运算和“补”的运算.这里采用类比方式处理集合间的关系和运算的目的在于体现知识之间的联系，渗透数学学习的方法.适当地引入集合知识是在中学数学教材中渗透近代数学思想的基础.这里“渗透”的意思是，学习与中学数学内容相关的集合语言，使中学数学内容表述更加准确，逻辑更加清楚，以帮助学生正确的理解和运用中学数学知识.应注意，在中学不可能用集合的理论严格地建立中学数学体系.（三）教学的重点和难点（1）集合的运算是这部分的重点因为对于交集、并集概念的理解及交集、并集的应用，无论是在知识上，还是在方法上，不仅对后面学习有直接的影响，而且也是对前面所学知识：元素与集合、子集等概念的巩固.教学中应从定义出发，从语言叙述，式子表达，及文氏图去理解；可以从具体例子入手，从初中的数学知识，如图形的分类、数的种类去理解.在求两集合的并集时，应注意集合中元素的互异性.（2）集合的包含关系和属于关系是这部分的难点二、“集合”的教学策略（一）如何在教学中渗透集合与简易逻辑的数学思想与方法？理解集合概念的本质，把握集合的思维特征是“集合”教学的重要任务.在高中阶段，我们是把集合作为一种语言来看待的.它是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容.通过集合的教学，一方面我们要让学生能够掌握这种语言，会用集合语言描述数学问题；另一方面，要让学生能够识别集合语言，要能够读懂别人用集合语言描述的数学问题.集合的思维特征是什么呢？无论是集合的含义，还是集合的关系、还是集合的运算，都是通过研究元素与集合的关系来进行的，这也就告诉我们，集合这种语言的特点，要从元素与集合的关系来掌握并运用这种语言.集合之间的关系体现在元素与集合的关系的：如子集关系、如相等集合的关系、如真子集的关系，无一不是体现在元素与集合的关系上.如我们常说的集合的三条性质：确定性，互异性，无序性，都是针对元素与集合的关系的:给定的集合，它的元素必须是确定的------集合的确定性；一个给定集合中的元素是互不相同的------集合的互异性；集合与组成它的元素的顺序无关------集合的无序性.从集合的关系来看，可以分为两类：即包含关系和非包含关系.如：“对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集”.这里说的就是元素与集合的关系.两个集合的运算的结果是集合.而这种运算的定义依据的仍然是元素与集合的关系.如：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：A∩B={x|x∈A且x∈B}可以看出，只有从元素与集合关系的角度来认识集合，理解集合，才能够真正掌握集合的本质，才能够对这种现代数学的基本语言运用自如.（二）在”新课标”中的处理特点1．新课标的教学目标要求与大纲版的目标要求的比较：新课标的教学目标要求：（1）集合的含义与表示①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系.②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.②在具体情境中，了解全集与空集的含义.（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.《大纲》的目标要求是：理解集合、子集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.比较：对于集合、子集、补集、交集的概念、含义，《大纲》都属于理解层次；但《标准》对于属于、包含、相等关系由了解提升为理解层次.2．集合的教学内容在《课标》下的处理特点：（1）原《大纲》的实验教材注意联系旧有知识引入集合概念，而新《课标》的实验教材既注意旧有知识引入集合概念，也注意联系学生的现实生活引入集合概念.（2）重视运用集合的语言回顾过去学习过的知识.新《课标》的实验教材注意用集合的语言表示一元二次不等式的解集.也注意用集合的语言表述直线与平面的关系.（三）教学中的几个思维要点1．集合的概念集合的创始人康托曾这样来描述集合，“把一些确定的，彼此有区别的，具体的或想像的东西看作一个整体，便叫做集合.”这个描述，康托自认为是给集合下了一个定义，其实不然.因为诸如整体、总体、总合、集合等等概念都是等价概念.康托使用集合的等价概念（整体）来给集合下定义，因此这是一个同义的反复，不能算是合乎逻辑的非重言式的定义.一些逻辑学家想用更原始、更基本的概念给集合下定义，但这个愿望迄今还没有实现.近代公理集合论者，都放弃了对集合下定义的想法，把集合作为原始的不定义概念.请大家注意，不同的教材对集合概念会有不同的描述.请大家最好不要作过细的研讨.对集合运算的一些性质，教材也只是让学生直观地去理解，而不进行逻辑地证明.理解集合概念有两条最为重要：（1）把一些对象看作一个整体；（2）对一个对象，能够判别它是否属于这个集合.至于“无序性”，“同一个元素只列举一次”等，在学习表示法时，要再向学生说明.在理解集合的基础上，让学生熟记一个元素属于和不属于一个集合的符号表示：aA，aA.空集：由方程的无解引入空集概念.在集合的运算时，再突出空集的作用.本教材中将集合分为两类：有限集和无限集,空集归入有限集.有的教材把空集单独列成一类.2．集合之间的关系教学中，主要通过实例让学生了解子集和真子集的概念以及符号表示，然后给集合相等下定义.这里，我们对相等概念再作一些分析.如果给定两个集合A和B，对任意一个对象x,如果xA,则有xB，并且如果xB,则有xA，我们就可断定A=B.例如A={x|x2-1=0}和B={x||x|=1}，它们所描述的都是集合{-1，1}，因此A=B.在集合论中，通常把上述性质叫做集合的外延原则，即“性质不同，但外延（集合）相同”.3．集合的运算对学生来说，集合运算是一个全新的概念.要通过集合运算扩展学生对“运算”概念的理解.教学的重点是集合的交、并、补运算的定义.定义这三个运算时，最好不用或、且、非这三个联结词，特别不要用或，否则容易引起混乱.（四）典型例题的教学例1.已知，，，，若，则（）A．B．C．D．思路分析：，则存在使得同理可得：，∴选A.通过本题的分析，可以看出：研究元素与集合的关系，需要正确理解集合的含义，对整数集的分类是集合中常见的问题，通过此题认真体会元素与集合关系的判断思想.例2.已知集合A={x∣ax2-3x+2=0，x∈R},若集合A中元素中至多只有一个，求实数a的取值范围.思路分析：集合A的元素是方程ax2-3x+2=0的根，而此方程不一定是一元二次方程，要注意讨论字母a.①a=0时，方程为-3x+2=0,解得x=,符合题意.②a≠0时，方程ax2-3x+2=0为一元二次方程.集合A中至多有一个元素即表明一元二次方程无根或有两个相等的实数根.即△=9-8a≤0，解得a≥综合①②可知实数a的取值范围是：a=0或a≥.通过本题的分析，可以看出：集合A为数集，其中元素x表现为方程组的解，求集合中元素个数问题转化为方程解的个数问题.解析1很好的体现分类讨论思想方法的运用，考查了对集合中元素的互异性及对空集含义的理解.例3.设集合，，若，求的值及集合、．思路分析：集合P、Q都是列举法表示的，意味着两个集合中元素相同，但需要注意集合本身的元素具有互异性.∵且，∴．（1）若或，则，从而，与集合中元素的互异性矛盾，∴且；（2）若，则或．当时，，与集合中元素的互异性矛盾，∴；当时，，，由得①或②由①得，由②得，∴或，此时．通过本题的分析，可以看出：在考察集合之间关系时，要注意集合本身的性质，特别是集合中元素的互异性和无序性容易被忽视.例4．设方程的解集为，方程的解集为，且，的值.思路分析：p，q，r是一元二次方程的系数，根据根与系数的关系，只需求出集合A，B所含的元素即方程的根.由又通过本题的分析，可以看出：本题考查了集合的相等及交集，并集的概念，我们在解题时常常根据集合间的运算结果或集合的关系分析集合中所含的元素.例5.(1)设，，若，则实数的取值集合为；(2)已知集合，，若，则实数的值为.思路分析：(1)由已知，集合，∵得分和两种情况.当时，解得=0；当时，解得的取值综上可知的取值集合为.(2)由已知，，当时，解得=0；即舍去当时，解得综上可知的取值集合为.通过本题的分析，可以看出：(1)要重视以下几个重要基本关系式在解题时发挥的作用：，；，；，；，等．(2)要注意是任何集合的子集．但使用时也要看清题目条件，不要盲目套用．例6.已知集合，，若，求的值.思路分析：∵∴或当时，即，此时，，则不符合题设条件，舍去当时，即此时，，符合题设条件所以为所求.通过本题的分析，可以看出：已知，则数-3在集合N，可从-3应为三元素之一入手判断.三、学习目标的检测（一）对知识掌握状况的检测本章检测要抓住重点，即抓住本章的基本概念及其相互关系进行检测.本章的基本概念是集合、元素、属于、包含、子集、并集、空集、全集、补集，检测时应该重点考查学生对这些基本概念的理解和运用情况.例1.设集合若则的取值范围是（）A.B.C.D.提示：可用数轴表示集合M,N，选D.例2.如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是（）A.0B.0或1C.1D.不能确定提示：若，则集合A的元素为若，方程有两个相等的实数根，集合A的元素只有一个.选B.例3.已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，则实数＝．提示：由，经检验，为所求.（二）对技能和能力状况的检测列举法、特征性质描述法、图示法是表示集合的三种基本方法，检测时要考虑学生对这些方法的理解和运用的能力.例4.如图，U是全集，M、P、S为U的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为()A.B.C.D.提示：∵阴影中任一元素有，且，但，∴.由交集、并集、补集的意义．∴答案选D.（三）对学习过程的检测注意考查学生是否能够用集合的语言表述过去所学习过的数的集合、式的集合、图形的集合，是