高中奥林匹克物理竞赛解题方法_四_等效法

四、等效法方法简介在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的，在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法.等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解.赛题精讲例1：如图4—1所示，水平面上，有两个竖直的光滑墙壁A和B，相距为d，一个小球以初速度v0从两墙之间的O点斜向上抛出，与A和B各发生一次弹性碰撞后，正好落回抛出点，求小球的抛射角θ.解析：将弹性小球在两墙之间的反弹运动，可等效为一个完整的斜抛运动（见图）.所以可用解斜抛运动的方法求解.由题意得：gvvtvdsin2coscos2000可解得抛射角202arcsin21vgd例2：质点由A向B做直线运动，A、B间的距离为L，已知质点在A点的速度为v0，加速度为a，如果将L分成相等的n段，质点每通过L/n的距离加速度均增加a/n，求质点到达B时的速度.解析从A到B的整个运动过程中，由于加速度均匀增加，故此运动是非匀变速直线运动，而非匀变速直线运动，不能用匀变速直线运动公式求解，但若能将此运动用匀变速直线运动等效代替，则此运动就可以求解.因加速度随通过的距离均匀增加，则此运动中的平均加速度为nannaannanaaaaa2)13(232)1(2末初平由匀变速运动的导出公式得2022vvLaB平解得naLnvvB)13(20例3一只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1=1m的A点时，速度大小为scmv/201，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小?2v老鼠从A点到达B点所用的时间t=？解析我们知道当汽车以恒定功率行驶时，其速度v与牵引力F成反比，即，v=P/F，由此可把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动.由此分析，可写出kxPFPv当11,vvsx时将其代入上式求解，得2211svPsvPk所以老鼠到达B点时的速度scmvssv/1020211212再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加，21222121ksksPt代入有关量可得)(21212211sssvPPt由此可解得svssst5.72.012122)(22112122此题也可以用图像法、类比法求解.例4如图4—2所示，半径为r的铅球内有一半径为2r的球形空腔，其表面与球面相切，铅球的质量为M.在铅球和空腔的中心连线上，距离铅球中心L处有一质量为m的小球（可以看成质点），求铅球对小球的引力.解析因为铅球内部有一空腔，不能把它等效成位于球心的质点.我们设想在铅球的空腔内填充一个密度与铅球相同的小铅球△M，然后在对于小球m对称的另一侧位置放另一个相同的小铅球△M，这样加入的两个小铅球对小球m的引力可以抵消，就这样将空腔铅球变成实心铅球，而结果是等效的.带空腔的铅球对m的引力等效于实心铅球与另一侧△M对m的引力之和.设空腔铅球对m的引力为F，实心铅球与△M对m的引力分别为F1、F2.则F=F1－F2①经计算可知：MM71，所以22178)(LGmMLMMmGF②图4—2222)2(7)2(rLGmMrLMmGF③将②、③代入①式，解得空腔铅球对小球的引力为])2(7178[2221rLLGmMFFF例5如图4-3所示，小球长为L的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回，若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的54，求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程.解析小球与挡板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，说明碰撞过程中损失能量，每次反弹距离都不及上次大，小球一步一步接近挡板，最终停在挡板处.我们可以分别计算每次碰撞垢上升的距离L1、L2、……、Ln，则小球总共通过的路程为LLLLsn)(221，然后用等比数列求和公式求出结果，但是这种解法很麻烦.我们假设小球与挡板碰撞不损失能量，其原来损失的能量看做小球运动过程中克服阻力做功而消耗掉，最终结果是相同的，而阻力在整个运动过程中都有，就可以利用摩擦力做功求出路程.设第一次碰撞前后小球的速度分别为v、1v，碰撞后反弹的距离为L1，则sin21sin211212mgLmvmgLmv其中222111)54(,54vvLLvv所以碰撞中损失的动能为)25161(2121212212mvmvmvEk根据等效性有kELLf)(1解得等效摩擦力sin419mgf通过这个结果可以看出等效摩擦力与下滑的长度无关，所以在以后的运动过程中，等效摩擦力都相同.以整个运动为研究过程，有sinmgLsf解出小球总共通过的总路程为.941Ls此题也可以通过递推法求解，读者可试试.例6如图4—4所示，用两根等长的轻质细线悬挂一个小球，设L和已知，当小球垂直于纸面做简谐运动时，其周期为.解析此题是一个双线摆，而我们知道单摆的周期，若将又线摆摆长等效为单摆摆长，则双线摆的周期就可以求出来了.将双线摆摆长等效为单摆摆长sinLL，则此双线摆的周期为glgLT/sin2/2例8如图4—5所示，由一根长为L的刚性轻杆和杆端的小球组成的单摆做振幅很小图4—3图4—4的自由振动.如果杆上的中点固定另一个相同的小球，使单摆变成一个异形复摆，求该复摆的振动周期.解析复摆这一物理模型属于大学普通物理学的内容，中学阶段限于知识的局限，不能直接求解.如能进行等效操作，将其转化成中学生熟悉的单摆模型，则求解周期将变得简捷易行.设想有一摆长为L0的辅助单摆，与原复摆等周期，两摆分别从摆角处从静止开始摆动，摆动到与竖直方向夹角为时，具有相同的角速度，对两摆分别应用机械能守恒定律，于是得22)2(21)(21)cos(cos21)cos(coslmlmmgmgl对单摆，得200)(21)cos(coslmmgl联立两式求解，得ll650故原复摆的周期为.65220glglT例9粗细均匀的U形管内装有某种液体，开始静止在水平面上，如图4—6所示，已知：L=10cm，当此U形管以4m/s2的加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差.（g=10m/s2）解析当U形管向右加速运动时，可把液体当做放在等效重力场中，g的方向是等效重力场的竖直方向，这时两边的液面应与等效重力场的水平方向平行，即与g方向垂直.设g的方向与g的方向之间夹角为，则4.0tanga由图4—6可知液面与水平方向的夹角为，所以，.04.044.010tanmcmLh例10光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为mg33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v.解析小球同时受到重力和电场力作用，这时也可以认为小球处在等效重力场中.小球受到的等效重力为mgmgmgG332)33()(22等效重力加速度gmGg332图4—6图4—7与竖直方向的夹角30，如图4—7甲所示.所以B点为等效重力场中轨道的最高点，如图4—7，由题意，小球刚好能做完整的圆周运动，小球运动到B点时的速度RgvB在等效重力场中应用机械能守恒定律22021)cos(21BmvRRgmmv将g、Bv分别代入上式，解得给小球的初速度为gRv)13(20例11空间某一体积为V的区域内的平均电场强度（E）的定义为niiniiinnnVVEVVVVEVEVEE11212211如图4—8所示，今有一半径为a原来不带电的金属球，现使它处于电量为q的点电荷的电场中，点电荷位于金属球外，与球心的距离为R，试计算金属球表面的感应电荷所产生的电场在此球内的平均电场强度.解析金属球表面的感应电荷产生的球内电场，由静电平衡知识可知等于电量为q的点电荷在金属球内产生的电场，其大小相等，方向相反，因此求金属球表面的感应电荷产生的电场，相当于求点电荷q在金属球内产生的电场.由平均电场强度公式得niniiiiniiiiniiniiiVVrkqVVEVEVVVEE1121111设金属球均匀带电，带电量为q，其密度为Vq，则有niniiiiirqkrVkE11221niiirqk12为带电球体在q所在点产生的场强，因而有2RkqE，方向从O指向q.例11质量为m的小球带电量为Q，在场强为E的水平匀强电场中获得竖直向上的初速度为0v.若忽略空气阻力和重力加速度g随高度的变化，求小球在运动过程中的最小速度.图4—7甲图4—8解析若把电场力Eq和重力mg合成一个力，则小球相当于只受一个力的作用，由于小球运动的初速度与其所受的合外力之间成一钝角，因此可以把小球的运动看成在等效重力G（即为合外力）作用下的斜抛运动，而做斜抛运动的物体在其速度方向与G垂直时的速度为最小，也就是斜抛运动的最高点，由此可见用这种等效法可以较快求得结果.电场力和重力的合力方向如图4—9所示，由图所示的几何关系可知Eqmgtan小球从O点抛出时，在y方向上做匀减速直线运动，在x轴方向上做匀速直线运动.当在y轴方向上的速度为零时，小球只具有x轴方向上的速度，此时小球的速度为最小值，所以2200min)()(cosEqmgEqvvv此题也可以用矢量三角形求极值的方法求解，读者可自行解决.例12如图4—10所示，R1、R2、R3为定值电阻，但阻值未知，Rx为电阻箱.当Rx为101xR时，通过它的电流18;121xxxRRAI为当时，通过它的电流.6.02AIx则当AIx1.03时，求电阻.3xR解析电源电动势、内电阻r、电阻R1、R2、R3均未知，按题目给的电路模型列式求解，显然方程数少于未知量数，于是可采取变换电路结构的方法.将图4—10所示的虚线框内电路看成新的电源，则等效电路如图4—10甲所示，电源的电动势为，内电阻为r.根据电学知识，新电路不改变Rx和Ix的对应关系，有),(11rRIxx①),(22rRIxx②)(33rRIxx③由①、②两式，得2,12rV，代入③式，可得1183xR例13如图4—11所示的甲、乙两个电阻电路具有这样的特性：对于任意阻值的RAB、图4—9图4—10图4—10甲RBC和RCA，相应的电阻Ra、Rb和Rc可确定.因此在对应点A和a，B和b、C和c的电位是相同的，并且，流入对应点（例如A和a）的电流也相同，利用这些条件证明：CABCABCAABaRRRRRR，并证明对Rb和Rc也有类似的结果，利用上面的结果求图4—11甲中P和Q两点之间的电阻.解析图4—11中甲、乙两种电路的接法分别叫三角形接法和星形接法，只有这两种电路任意两对应点之间的总电阻部分都相等，两个电路可以互相等效，对应点A、a、B、b和C、c将具有相同的电势.由Rab=RAB，Rac=RAC，Rbc=RBC，对ab间，有CABCABBCABCAABBCACABbaRRRRRRRRRRRR1)11(①同样，ac间和bc间，也有CABCABCABCCAABBCABCAcaRRRRRRRRRRRR1)11(②CABCABCABCBCABCAABBCcbRRRRRRRRRRRR