高一高二公用奥赛题力学

奥赛真题实战训练150分1、【1999年16届预赛】二、（15分）一质量为M的平顶小车，以速度0v沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为m的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为。1.若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？2.若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？2.【1999年16届预赛】八、（15分）1997年8月26日在日本举行的国际天文学会上，德国MaxPlanck学会的一个研究组宣了他们的研究成果：银河系的中心可能存在一个在黑洞。他们的根据是用口径为3.5m的天文望远镜对猎户座中位于银河系中心附近的星体进行近六年的观测所得到的数据，他们发现，距离银河系中心约60亿公里的星体正以2000km/s的速度围绕银河系中心旋转。根据上面的数据，试在经典力学的范围内（见提示2），通过计算确认，如果银河系中心确实存在黑洞的话，其最大半径是多少。（引力常数203126.6710kmkgsG－－－）提示：1.黑洞是一种密度极大的天体，其表面的引力是如此之强，以至于包括光在内的所有物质都不了其引力作用。2．计算中可以采用拉普拉斯经典黑洞模型，在这种模型中，在黑洞表面上的所有物质，即使初速度等于光速c也逃脱不了其引力的作用。3.【2000年17届预赛】二、（15分）一半径为1.00mR的水平光滑圆桌面，圆心为O，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线C，如图预17-2所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为27.510kgm－的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为04.0m/sv的初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为02.0NT时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动．1．问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少?2．若绳刚要断开时，桌面圆心O到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心O的水平距离为多少？已知桌面高度0.80mH．物块在桌面上运动时未与立柱相碰．取重力加速度大小为210m/s．4【2001年18届预赛】一、（15分）如图预18－l所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M，滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为时，杆的角速度为，求此时物块M的速率Mv。5【2001年18届预赛】五、（25分）如图预18－5所示，一质量为M、长为L带薄挡板P的木板，静止在水平的地面上，设木板与地面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等，皆为．质量为m的人从木板的一端由静止开始相对于地面匀加速地向前走向另一端，到达另一端时便骤然抓住挡板P而停在木板上．已知人与木板间的静摩擦系数足够大，人在木板上不滑动．问：在什么条件下，最后可使木板向前方移动的距离达到最大？其值等于多少？6【2003年20届预赛】五、(20分)有一个摆长为l的摆（摆球可视为质点，摆线的质量不计），在过悬挂点的竖直线上距悬挂点O的距离为x处（x＜l）的C点有一固定的钉子，如图所示，当摆摆动时，摆线会受到钉子的阻挡．当l一定而x取不同值时，阻挡后摆球的运动情况将不同．现将摆拉到位于竖直线的左方（摆球的高度不超过O点），然后放手，令其自由摆动，如果摆线被钉子阻挡后，摆球恰巧能够击中钉子，试求x的最小值．7.【2004年21届预赛】二、（15分）质量分别为m1和m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角＝30°的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的摩擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示．第一次，m1悬空，m2放在斜面上，用t表示m2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间．第二次，将m1和m2位置互换，使m2悬空，m1放在斜面上，发现m1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为3t．求m1与m2之比．四、【2004年21届预赛】(15分)要使一颗人造地球通讯卫星（同步卫星）能覆盖赤道上东经75.0°到东经135.0°之间的区域，则卫星应定位在哪个经度范围内的上空？地球半径R0=6.37×106m．地球表面处的重力加速度g=9.80m/s2．七、【2004年21届预赛】（15分）如图所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上．A是质量为mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动．碗和杆的质量关系为：mB＝2mA．初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）．然后从静止开始释放A，A、B便开始运动．设A杆的位置用表示，为碗面的球心至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角．求A与B速度的大小（表示成的函数）．m1m2ACROB答案：1、二、参考解答1.物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动，而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落。令v表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即0()MvmMv（1）从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功，即2112mvmgs（2）其中1s为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功，即22021122Mvmvmgs（3）其中2s为小车移动的距离。用l表示车顶的最小长度，则21lss（4）由以上四式，可解得202()MvlgmM（5）即车顶的长度至少应为202()MvlgmM。2．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动量的增量，即22011()22WmMvMv（6）由（1）、（6）式可得202()mMvWmM2、八、参考解答首先求出一定质量的引力源成为黑洞应满足的条件．按照黑洞的定义，包括以光速运动的光子也不能脱离黑洞的吸引，即不能逃离黑洞的表面．而拉普拉斯经典黑洞模型则把光看做是以光速c运动的某种粒子．我们知道，物体在引力作用下的势能是负的，物体恰能逃离引力作用，表示物体运动到无限远的过程中，其动能恰好全部用于克服引力做功．物体在无限远处时，动能和势能都等于零．这意味着该物体处在引力源表面处时，其动能与势能之和亦等于零．物体不能逃离引力作用，表示该物体尚未到达无限远处，其动能已全部用于克服引力做功，但引力势能仍是负的．这意味着它在引力源表面处时，其动能与势能之和小于零．若某引力源的质量为M，半径为Br，质量为m的粒子在引力源表面的速度等于光速，但它仍不能逃离引力作用，则按牛顿力学的观点应有下列关系：2102BMmmcGr（1）或22BGMrc（2）这就是说，对于质量为M的引力源，只有其半径Br（叫做黑洞的引力半径）小于22GMc时才会在其表面产生足够强的引力，使得包括光在内的所有物质都不能脱离其引力作用．对光而言，人们将无法通过光学测量看到它，这就是把它叫做黑洞的原因．现在再来根据观测数据确定存在于银河系中心的大黑洞的半径．设位于银河系中心的引力源的质量为M，绕银河系中心旋转的星体的质量为m，该星体做圆周运动时，有下列关系：22vmMmGrr即2rvMG（3）r为轨道半径．若该引力源为黑洞，则其质量分布球的半径应满足（2）式，即222222BGvrvrrGcc（4）根据观测数据，36210km/s=210m/sv，8126010km=610mr，而8310m/sc，把这些数据代入（4）式，得855.310m=5.310kmBr（5）这说明，对质量由（3）式决定的引力源来说，半径小于55.310km时才是黑洞，大于这个数值则不是黑洞．所以如果银河系中心存在黑洞的话，该黑洞的半径小于55.310km．3、二、参考解答1．因桌面是光滑的，轻绳是不可伸长的和柔软的，且在断开前绳都是被拉紧的，故在绳断开前，物块在沿桌面运动的过程中，其速度始终与绳垂直，绳的张力对物块不做功，物块速度的大小保持不变。设在绳刚要断开时绳的伸直部分的长度为x，若此时物块速度的大小为xv，则有0xvv（1）绳对物块的拉力仅改变物块速度的方向，是作用于物块的向心力，故有2200xmvmvTxx（2）由此得200mvxT（3）代入数据得0.60mx（4）2.设在绳刚要断开时，物块位于桌面上的P点，BP是绳的伸直部分，物块速度0v的方向如图预解17-2所示．由题意可知，OBBP．因物块离开桌面时的速度仍为0v，物块离开桌面后便做初速度为0v的平抛运动，设平抛运动经历的时间为t，则有212Hgt（5）物块做平抛运动的水平射程为10svt（6）由几何关系，物块落地地点与桌面圆心O的水平距离s为22221ssRxx（7）解（5）、（6）、（7）式，得222202HsvRxxg(8)代人数据得2.5ms4．一、参考解答杆的端点A点绕O点作圆周运动，其速度Av的方向与杆OA垂直，在所考察时其大小为AvR（1）对速度Av作如图预解18-1所示的正交分解，沿绳BA的分量就是物块M是速率Mv，则cosMAvv（2）由正弦定理知sinsinOABHR（3）由图看出2OAB（4）由以上各式得sinMvH（5）评分标准：本题15分其中（1）式3分；（2）式5分；（5）式7分。5五、参考解答在人从木板的一端向另一端运动的过程中，先讨论木板发生向后运动的情形，以t表示人开始运动到刚抵达另一端尚未停下这段过程中所用的时间，设以1x表示木板向后移动的距离，如图预解18-5所示．以f表示人与木板间的静摩擦力，以F表示地面作用于木板的摩擦力，以1a和2a分别表示人和木板的加速度，则1fma（1）21112Lxat（2）2fFMa（3）21212xat（4）解以上四式，得2()LMmtMfmfF（5）对人和木板组成的系统，人在木板另一端骤然停下后，两者的总动量等于从开始到此时地面的摩擦力F的冲量，忽略人骤然停下那段极短的时间，则有()FtMmv（6）v为人在木板另一端刚停下时两者一起运动的速度．设人在木板另一端停下后两者一起向前移动的距离为2x，地面的滑动摩擦系数为，则有221()()2MmvMmgx（7）木板向前移动的净距离为21Xxx（8）由以上各式得21()()()()FLMmLmXfFgMmMmfFMFMfmfF由此式可知，欲使木板向前移动的距离X为最大，应有fF（9）即max()fFMmg（10）即木板向前移动的距离为最大的条件是：人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑动摩擦力．移动的最大距离maxmXLMm（11）由上可见，在设木板发生向后运动，即fF的情况下，fF时，X有极大值，也就是说，在时间0～t内，木板刚刚不动的条件下X有极大值．再来讨论木板不动即fF的情况，那时，因为fF，所以人积累的动能和碰后的总动能都将变小，从而前进的距离x也变小，即小于上述的maxX6、五、参考解答摆线受阻后在一段时间内摆球作圆周运动，若摆球的质量为m，则摆球受重力mg和摆线拉力T的作用，设在这段时间内任一时刻的速度为v，如图预解20-5所示。用表示此时摆线与重力方向之间的夹角，则有方程式2cosmvTmglx（1）运动过程中机械能守恒，令表示摆线在起始位置时与竖直方向的夹角，取O点为势能零点，则有关系21cos[()cos)]2mglmvmgxlx（2）摆受阻后，如果后来摆球能击中钉子，则必定在某位置时摆线开始松弛，此时T＝0，此后摆球仅在重力作用下作斜抛运动。设在该位置时摆球速度0vv，摆线与竖