高考数学复习单元训练：导数及其应用

高考数学单元训练：导数及其应用本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若函数321(02)3xyxx图象上任意点处切线的斜率为k，则k的最小值是()A．1B．0C．1D．12【答案】A2．曲线12xxy在点（1，1）处的切线方程为()A．02yxB．02yxC．054yxD．054yx【答案】B3．曲线()lnfxxx在点P（1，0）处的切线l与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是()A．22111()()222xyB．22111()()222xyC．22111()()222xyD．22111()()222xy【答案】C4．曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是()A．(0,1)B．(1,0)C．(-1,-4)或（1,0）D．(-1,-4)【答案】B5．设]2,1[2]1,0[)(2xxxxxf，则20)(dxxf的值为()A．43B．54C．65D．67【答案】C6．设函数f′（x）=x2+3x－4，则y=f（x+1）的单调递减区间为()A．（－4，1）B．（－5，0）C．（3,2）D．（5,2）【答案】B7．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x()A．大于零B．小于零C．等于零D．不等于零[来源:学.科.网]【答案】D[来源:学科网ZXXK]8．函数)(xf的定义域为R，2)1(f，对任意Rx，2)(xf，则42)(xxf的解集为()A．（1，1）B．（1，+）C．（，1）D．（，+）【答案】B9．已知等差数列{}na的前n项和为nS，又知(ln)'ln1xxx，且101lneSxdx，2017S，则30S为()A．33B．46C．48D．50【答案】C10．曲线3()2fxxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-，则0p点的坐标为()[来源:学#科#网Z#X#X#K]A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)或(－1,－4)D．(2,8)和或(－1,－4)【答案】C11．设函数2()()fxgxx，曲线()ygx在点(1,(1))g处的切线方程为21yx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处切线的斜率为()A．4B．14C．2D．12【答案】A12．曲线211yx在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．-9B．-3C．9D．15【答案】C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则na=____________【答案】5)21(n14．函数32xxy的单调增区间为.【答案】2(0,)315．曲线y=3x2与x轴及直线x＝1所围成的图形的面积为．【答案】116．xxfxxfx)()(lim000=。[来源:Zxxk.Com]【答案】)(0xf三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？【答案】解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm,则∵BD=40,AC=50－x,∴BC=222240xCDBD又设总的水管费用为y元，依题意有：y=3a(50－x)+5a2240x(050)xy′=－3a+22405xax,令y′=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.解法二：设∠BCD=,则BC=sin40,CD=)20(,cot40,cot4050AC设总的水管费用为f(θ),依题意，有f(θ)=3a(50－40·cotθ)+540sina=150a+40a·sincos35∴f(θ)=40a22(53cos)sin(53cos)(sin)35cos40sinsina令f(θ)=0,得cosθ=53根据问题的实际意义，当cosθ=53时，函数取得最小值，此时sinθ=54,∴cotθ=43,∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.18．已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值12．(I）求a，b的值；(II）判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间．【答案】(1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx，所以f′(x)＝2ax＋bx．又函数f(x)在x＝1处有极值12，所以f′1＝0，f1＝12.即2a＋b＝0，a＝12，解得a＝12，b＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝12x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－1x＝x＋1x－1x．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数y＝f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．19．设aR，向量(,1)am，函数()yfx的图象经过坐标原点，)(xf是函数)(xf的导函数．已知(1,(1))Af，2(,)Bxx，()fxABm．(Ⅰ）求)(xf的解析式；[来源:Zxxk.Com](Ⅱ）若关于x的方程22()(1)24axfxx在区间1,1上有两个不相等的实数根，求a的取值范围；(Ⅲ）若2a，设数列{}na满足*113,42()3(2)nnaafann且N．求证：12*21nnanN．【答案】（I）∵))1(1(2fxxAB，，∴2()(1)(1)fxABaxxfm=．令1x，则)1()1()1()1(2fxaf，解得21)1(f．∴21)(2aaxxxf．[来源:Z.xx.k.Com]∵()yfx的图象过原点，∴3211()()322afxxxax．(II）原方程可以整理为xxxa232132．令xxxxg232132)(，则12)(2xxxg．由()0gx有1x或21x，且当1x或21x时0)(xg，当211x时0)(xg．∴在]11[，x时，()gx在1,2上是减函数，在,12上是增函数，∴在1,1上247)21((mingxg）．又51(1)(1)66gg，∴要使原方程在1,1上有两个不相等的实数根，则须使71246a．即a的取值范围为71246，．[来源:学科网](III）2a时，232)(2xxxf．∴211342(2)32nnnaaa)，整理得12122nnnaaa(2n)．变形得2112121nnnaaa，令1nnca，则14c，212nncc(2n)．两边同取对数有2122log)2(lognncc，即122log2log1nncc．令nncd2log，则12d，且112nndd，∴nd-12(1nd-1)(2n)，∴nd-12(1nd-1)22(2nd-1)……12n(1d-1)=12n，∴nd1+12n12n，∴nc=2nd122n，∴1221nna(2n)．当1n时，1a=31122-1=1，即不等式也成立，∴12*21nnanN．20．已知函数)(ln)(Raxaxxf，(Ⅰ）若,1a求曲线)(xfy在21x处的切线的斜率；（Ⅱ）求)(xf的单调区间；(Ⅲ）设,22)(xxg若存在),,0(1x对于任意],1,0[2x使),()(21xgxf求a的范围。【答案】xaxxaxfxRaxaxxf11)(),0()(ln)('(Ⅰ）若,1a121)21('fk(Ⅱ）当）为增函数，在（0)(,0)(,0'xfxfa当，0a令,100)('axxf,10)('axxf综上：），的单调增区间为（0)(,0xfa),1,1-0)(,0aaxfa减区间为（），的单调增区间为（(Ⅲ）由（Ⅱ）知，当0a时，一定符合题意;当),1,1-0)(,0aaxfa减区间为（），的单调增区间为（)1ln(1)1()(maxaafxf由题意知，只需满足010)1ln(10)1()()(maxmaxaeagxgxf综上：ea121．已知函数11axxfxex。(Ⅰ）设0a，讨论yfx的单调性；(Ⅱ）若对任意0,1x恒有1fx，求a的取值范围【答案】(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得f'(x)=ax2+2－a(1－x)2e－ax.(ⅰ)当a=2时,f'(x)=2x2(1－x)2e－2x,f'(x)在(－∞,0),(0,1)和(1,+∞)均大于0,所以f(x)在(－∞,1),(1,+∞).为增函数.(ⅱ)当0a2时,f'(x)0,f(x)在(－∞,1),(1,+∞)为增函数.[来源:学科网ZXXK](ⅲ)当a2时,0a－2a1,令f'(x)=0,解得x1=－a－2a,x2=a－2a.当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表:f(x)在(－∞,－a－2a),(a－2a,1),(1,+∞)为增函数,f(x)在(－a－2a,a－2a)为减函数.(Ⅱ)(ⅰ)当0a≤2时,由(Ⅰ)知:对任意x∈(0,1)恒有f(x)f(0)=1.(ⅱ)当a2时,取x0=12a－2a∈(0,1),则由(Ⅰ)知f(x0)f(0)=1(ⅲ)当a≤0时,对任意x∈(0,1),恒有1+x1－x1且e－ax≥1,得f(x)=1+x1－xe－ax≥1+x1－x1.综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)1[来源:学科网ZXXK]22．函数R,2)1ln()(2bxxbxxf(I）当23b时，求函数)(xf的极值；(II）设xxfxg2)()(，若2b，求证：对任意),1(,21xx，且21xx，都有)(2)()(2121xxxgxg.【答案】（1）当23b时，,2)1ln(23)(2xxxxf函数定义域为（,1）且令02)1(232xx，解得211x或212x当x变化时，)(),('xfxf的变化情况如下表：[来源:学科网ZXXK]所以当21x时，2ln2345)21()(fxf极大值，当21x时，23ln2343)21()(fxf极小值；(2）因为xxbxxf2)1ln()(2，所以)1(122212)('2xxbxxbxxf，因为2b，所以0)('xf（当且仅当0,2xb时等号成立），所以)(xf在区间),1(上是增函数，从而对任意),1(,21xx，当21xx时，)(