第五届大学生数学竞赛预赛试题

第五届大学生数学竞赛预赛试题一、（本题共4小题，每小题6分，共24分）解答下列各题1）求极限2lim1sin14nnn解：原式2211sin1214sin21421lim1sin214nnnnnnnn2lim2144nnnnee2）证明广义积分0sinxdxx不绝对收敛。解：因为110001sinsinsinnnnnnnnxxxdxdxdxxxx11111sin1sinsin1nnnnnnnnnxxdxdxxdxnxn11sincoscoscos121nnnnnxdxxnn所以11sin221nnnxdxnxn由比较判别法得0sinxdxx发散。3）设函数yyx由323322xxyy所确定，求y的极值。解：323322xxyy两边关于x求导得22236360xxyxyyy22222xxyyyx当10,2xyx时，0y，此时0,2xx因为0,2x时，1,1y，所以22222222224222xyxyyxyyxxxyyyx0,12,12210,10,22xyxyyy01y是极大值，21y是极小值。4）过曲线30yxx上的点A作切线，使该切线与曲线及x所围成的平面图形的面积为34，求点A的坐标。解：任取曲线30yxx上一点300,xx，此点处曲线的切线方程为23300013yxxxx当0y时，02xx，532009yxx03300013324xxxxdx300033144xxxA点坐标为1,1。二、（本题12分）计算定积分2sinarctan1cosxxxeIdxx。解：2201sinarctanarctansinarctan1cos1cosxxxxxexxeeIdxdxxx232200sinsin21cos41cos8xxxdxdxxx三、（本题12分）设fx在0x处存在二阶导数，且0lim0xfxx，证明：级数11nfn收敛。证明：因为0lim0xfxx，所以0000limlim0,0lim0xxxfxfxffxxfxx2001limlim022xxfxfxfxx211lim012nfnfn级数211nn收敛，由比较判别法得级数11nfn收敛。四、（本题10分）设,0fxfxmaxb，证明：2sinbafxdxm。证明：因为0fxmaxb，所以yfx存在反函数，设其反函数为xy。11sinsinsinbbbaaafxdxfxfxdxfxdfxfxfx00112sinmaxsin,sinfbfayydyydyydymmm五、（本题14分）设是光滑封闭曲面，方向朝外，给定第二型曲面积分33323Ixxdydzyydzdxzzdxdy试确定曲面，使得积分I取值最小，并求最小值。解：利用高斯公式2223693Ixyzdv要使I最小，则有222,,231xyzxyz，即为椭球面222231xyz，此时22221222220002311323131sin6xyzIxyzdvddd15301466253156六、（本题14分）设22aaCydxxdyIrxy，其中a为常数，曲线C为椭圆222xxyyr，取正向，求极限limarIr。解：曲线C的参数方程为3cossin323sin3xrryr，从0变到22220222233223sin1cossin33aaaaCydxxdyIrrdxy当1a时，lim0arIr，当1a时，limarIr当1a时，aIr是常数，并且曲线积分与路径无关222212222012CxyhydxxdyydxxdyIrdxyxy1lim2rIr。七、（本题14分）判断级数1111212nnnnL的敛散性，若收敛，求其和。解：设级数1111212nnnnL的前n项的和为nS，1112nTnL，则1231111111123344512nnSTTTTnnL11112324312nTnnnL1112nTnn又因为11111111111ln11nnnnnnndxTdxTTnTnxnx所以ln1022nTnnn由夹逼准则可得lim02nnTnlim1nnS所以级数1111212nnnnL收敛于1。