第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷详解(小学组)

1第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学组）（时间：2011年3月19日10：00~11：00）一、选择题（每小题10分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）1.若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（）.（A）100（Ｂ）101（Ｃ）102（Ｄ）103解析：最小的四个连续的合数是24、25、26、27，所以四个数之和的最小值为24+25+26+27=102，故选C.2.用火柴棍摆放数字０—９的方式如下：现在，去掉“”的左下侧一根，就成了数字“”，我们称“”对应１；去掉“”的上下两根和左下角一根，就成了数字“”，我们称“”对应３，规定“”本身对应０，按照这样的规则，可以对应出（）个不同的数字.（Ａ）１０（Ｂ）８（Ｃ）６（Ｄ）５解析：“”对应0；“”“”“”对应1；“”“”“”对应2；“”对应3；“”对应4；“”对应5.所以可以对应出5个不同的数字.故选C.3.两数之和与两数之商都为６，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（）.（Ａ）𝟐𝟔𝟒𝟕（Ｂ）𝟓𝟏𝟕（Ｃ）𝟔𝟕（Ｄ）𝟒𝟒𝟗解析：这道是一个简单的和倍问题，易得大数为367，小数为67.两数之积为3662167749，两数之差为36630777，这两数之积减这两数之差（大减小）等于21630649749，故选D.24.老师问学生：“昨天你们有几个人复习数学了？”张：“没有人.”李：“一个人.”王：“二个人.”赵：“三个人.”刘：“四个人.”老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没复习，复习了的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话，昨天这５个人中复习数学的有（）个人.（Ａ）０（Ｂ）１（Ｃ）２（Ｄ）３解析：这五句话中只能有1句是真话，所以这5个人中复习数学的有1个人.故选B5.如右图所示，在７×７的方格点上，有７只机器小蚂蚁，他们以相同的速度沿线爬行到格点M、N、P、Q（图中空心圆圈所表示的四个位置）中的某个上聚会，所用时间总和最小的格点是（）.（Ａ）Ｍ（Ｂ）Ｎ（Ｃ）Ｐ（D）Q解析：以一个小格的边长做为一个单位.先选择M作为标准，从上往下，7只蚂蚁走的单位数分别为7、3、1、2、2、4、7，总路程26.再拿N与M做对比，7只蚂蚁走的路程变化分别是：少走了1、少走了1、多走了1、多走了1、多走了1、少走了1、少走了1，所以总路程为26-1=25.同理可得走到P的总路程为27，走到Q的总路程为26.所以，所用时间总和最小的格点是N.6.用若干台计算机同时录入一部书稿，计划若干小时完成，如果增加3台计算机，则只需原定时间的75%，如果减少3台计算机，则比原定时间多用小时，那么原定完成录入这部书稿的时间是（）小时.（A）𝟓𝟑（B）𝟏𝟎𝟑（C）𝟓𝟔（D）𝟏𝟏𝟔解析：总工作量不变，计算机的数量比是速度比的倒数，设原来计算机是x台，75%13314xx，解得x=9.再设原计划时间是y，根据题意，有：59693yy，解得y=53.3二、填空题（每小题10分，满分40分.）7.有图由4个正六边形组成，每个面积是6，以这4个正六边形的顶点为顶点，可以连接面积为4的等边三角形有_____________个.解析：如图，将满足条件的等边三角形分为A型和B型两种，代入原图中，很容易找出所有情况，一共是8个.8.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇后，甲掉头返回A地，乙继续前行。甲到达A地后掉头往B行驶，半小时后和乙相遇，那么乙从A到B共需_________分钟.解析：如图，假设第一次相遇地点为C地，第二次相遇地点为D地.甲车到达C点用了3个小时，所以掉头回去到达A点一定也是用了3个小时.而从A地到D地甲用了半个小时，根据速度不变，路程比等于时间比，AC=6AD，CD=5AD.由已知，乙走完CD用了3.5小时，所以，乙走AD应该花3.5÷5=0.7（小时）.所以，乙从A到B共需3+3.5+0.7=7.2（小时），即432分钟.9．如右图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，ADBC，EF=13厘米，MN=4厘米，又已知与O点，那么阴影部分的总面积为____________平方厘米。解析：梯形ABCD被EF分为两个小的梯形：梯形ABFE和梯形EDCF.根据蝴蝶定理，容易得到ABMEFMSS，CDNEFNSS.所以，122522EMFNSSMNEF白色部分.所以阴影部分的面积为117-52=65（平方厘米）.410.在右面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，是的算式成立，那么四位数华杯初赛的最大值是_____________。解析：首先，一定有“华”=1.其次，考虑“杯”.若“杯”=9，则“十”必须是1，与“华”相同，与题意不符；若“杯”=8，则“十”不能为1，只能是2，这时“兔”只能取1，矛盾；若“杯”=7，同样可以推出，“十”只能是2.现在我们要让“初”尽可能大，9和8明显不可能，若“初”=6，可以有1769+234+68=2011.所以，华杯初赛的最大值是1769.部分地区附加题：第11题：有6个时刻，6:30，6:31，6:32，6:33，6:34，6:35这几个时刻里，______时刻时针和分针靠得最近，_____时刻时针和分针靠得最远.解析：理解为圆形跑道的追及问题，分针每分钟走1格，时针每分钟走格112格.6：30时针与分针的间隔为30-30×（1-112）=2.5=3012格.时针与分针的间隔每分钟缩小1112格.所以分针与时针在6：31间隔1912格，6：32间隔812格，6：33间隔312格，6：34间隔1412格，6：35间隔2512格.所以，6：33时刻时针和分针靠得最近，6：30时刻时针和分针靠得最远.第12题：一个纸片倒过来，0，1，8三个数字转180°后不变，6变成9，9变成6，其他数字转180°后没意义。问，7位数转180°后不变的有______个，其中能被4整除的数有_____个，这些转180°后不变的7位数的总和是______.解析：若ABCDEFG转180°后不变，那么D一定是0、1、8中的一个，C和E、B和F、A和G这三组每组内两个数字只能同时为0、1或8，或者一个6，一个9，这样只需要确定A、B、C、D四个数字即可，所以7位数转180°后不变的共有4×5×5×3=300个.在这其中能被4整除的数末两位数只能是00、08、16、60、68、580、88、96，其中末尾为00、80、60的数转180°后首位为0，矛盾，排除.所以其中能被4整除的数有5×3×5=75个.A、G这个位置上1、8、6、9各出现了5×5×3=75次，B、C、E、F这两个位置上，所有数字各出现4×5×3=60次，D这个位置上，0、1、8各出现4×5×5=100次，所以所有转180°后不变的7位数的总和是24×75×1000001+24×60×110110+9×100×1000=1959460200.