第十八章 组合【数学竞赛讲义】

第十八章组合一、方法与例题1．抽屉原理。例1设整数n≥4,a1,a2,…,an是区间(0,2n)内n个不同的整数，证明：存在集合{a1,a2,…,an}的一个子集，它的所有元素之和能被2n整除。[证明]（1）若n{a1,a2,…,an},则n个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1}，{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屉原理知其中必存在两个数ai,aj(i≠j)属于同一集合，从而ai+aj=2n被2n整除；（2）若n∈{a1,a2,…,an}，不妨设an=n，从a1,a2,…,an-1(n-1≥3)中任意取3个数ai,aj,ak(ai,ajak)，则aj-ai与ak-ai中至少有一个不被n整除，否则ak-ai=(ak-aj)+(aj-ai)≥2n，这与ak∈(0,2n)矛盾，故a1,a2,…,an-1中必有两个数之差不被n整除；不妨设a1与a2之差(a2-a10)不被n整除，考虑n个数a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+…+an-1。ⅰ）若这n个数中有一个被n整除，设此数等于kn，若k为偶数，则结论成立；若k为奇数，则加上an=n知结论成立。ⅱ）若这n个数中没有一个被n整除，则它们除以n的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n的余数相同，它们之差被n整除，而a2-a1不被n整除，故这个差必为ai,aj,ak-1中若干个数之和，同ⅰ）可知结论成立。2．极端原理。例2在n×n的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于n。证明：表中所有数之和不小于221n。[证明]计算各行的和、各列的和，这2n个和中必有最小的，不妨设第m行的和最小，记和为k，则该行中至少有n-k个0，这n-k个0所在的各列的和都不小于n-k，从而这n-k列的数的总和不小于(n-k)2，其余各列的数的总和不小于k2，从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k2≥.212)(22nkkn3.不变量原理。俗话说，变化的是现象，不变的是本质，某一事情反复地进行，寻找不变量是一种策略。例3设正整数n是奇数，在黑板上写下数1，2，…，2n，然后取其中任意两个数a,b,擦去这两个数，并写上|a-b|。证明：最后留下的是一个奇数。[证明]设S是黑板上所有数的和，开始时和数是S=1+2+…+2n=n(2n+1)，这是一个奇数，因为|a-b|与a+b有相同的奇偶性，故整个变化过程中S的奇偶性不变，故最后结果为奇数。例4数a1,a2,…,an中每一个是1或-1，并且有S=a1a2a3a4+a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0.证明：4|n.[证明]如果把a1,a2,…,an中任意一个ai换成-ai，因为有4个循环相邻的项都改变符号，S模4并不改变，开始时S=0，即S≡0，即S≡0(mod4)。经有限次变号可将每个ai都变成1，而始终有S≡0(mod4)，从而有n≡0(mod4)，所以4|n。4．构造法。例5是否存在一个无穷正整数数列a1,a2a3…，使得对任意整数A，数列1}{nnAa中仅有有限个素数。[证明]存在。取an=(n!)3即可。当A=0时，{an}中没有素数；当|A|≥2时，若n≥|A|，则an+A均为|A|的倍数且大于|A|，不可能为素数；当A=±1时，an±1=(n!±1)•[(n!)2±n!+1]，当≥3时均为合数。从而当A为整数时，{(n!)3+A}中只有有限个素数。例6一个多面体共有偶数条棱，试证：可以在它的每条棱上标上一个箭头，使得对每个顶点，指向它的箭头数目是偶数。[证明]首先任意给每条棱一个箭头，如果此时对每个顶点，指向它的箭头数均为偶数，则命题成立。若有某个顶点A，指向它的箭头数为奇数，则必存在另一个顶点B，指向它的箭头数也为奇数（因为棱总数为偶数），对于顶点A与B，总有一条由棱组成的“路径”连结它们，对该路径上的每条棱，改变它们箭头的方向，于是对于该路径上除A，B外的每个顶点，指向它的箭头数的奇偶性不变，而对顶点A，B，指向它的箭头数变成了偶数。如果这时仍有顶点，指向它的箭头数为奇数，那么重复上述做法，又可以减少两个这样的顶点，由于多面体顶点数有限，经过有限次调整，总能使和是对每个顶点，指向它的箭头数为偶数。命题成立。5．染色法。例7能否在5×5方格表内找到一条线路，它由某格中心出发，经过每个方格恰好一次，再回到出发点，并且途中不经过任何方格的顶点？[解]不可能。将方格表黑白相间染色，不妨设黑格为13个，白格为12个，如果能实现，因黑白格交替出现，黑白格数目应相等，得出矛盾，故不可能。6．凸包的使用。给定平面点集A，能盖住A的最小的凸图形，称为A的凸包。例8试证：任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧。[证明]五边形的凸五包是凸五边形、凸四边形或者是三角形，凸包的顶点中至少有3点是原五边形的顶点。五边形共有5个顶点，故3个顶点中必有两点是相邻顶点。连结这两点的边即为所求。7．赋值方法。例9由2×2的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形，用这种拐形去覆盖5×7的方格板，每个拐形恰覆盖3个方格，可以重叠但不能超出方格板的边界，问：能否使方格板上每个方格被覆盖的层数都相同？说明理由。[解]将5×7方格板的每一个小方格内填写数-2和1。如图18-1所示，每个拐形覆盖的三个数之和为非负。因而无论用多少个拐形覆盖多少次，盖住的所有数字之和都是非负的。另一方面，方格板上数字的总和为12×(-2)+23×1=-1，当被覆盖K层时，盖住的数字之和等于-K，这表明不存在满足题中要求的覆盖。-21-21-21-21111111-21-21-21-21111111-21-21-21-28．图论方法。例10生产由六种颜色的纱线织成的双色布，在所生产的双色布中，每种颜色的纱线至少与其他三种颜色的纱线搭配过。证明：可以挑出三种不同的双色布，它们包含所有的颜色。[证明]用点A1，A2，A3，A4，A5，A6表示六种颜色，若两种颜色的线搭配过，则在相应的两点之间连一条边。由已知，每个顶点至少连出三条边。命题等价于由这些边和点构成的图中有三条边两两不相邻（即无公共顶点）。因为每个顶点的次数≥3，所以可以找到两条边不相邻，设为A1A2，A3A4。（1）若A5与A6连有一条边，则A1A2，A3A4，A5A6对应的三种双色布满足要求。（2）若A5与A6之间没有边相连，不妨设A5和A1相连，A2与A3相连，若A4和A6相连，则A1A2，A3A4，A5A6对应的双色布满足要求；若A4与A6不相连，则A6与A1相连，A2与A3相连，A1A5，A2A6，A3A4对应的双色布满足要求。综上，命题得证。二、习题精选1．药房里有若干种药，其中一部分药是烈性的。药剂师用这些药配成68副药方，每副药方中恰有5种药，其中至少有一种是烈性的，并且使得任选3种药恰有一副药方包含它们。试问：全部药方中是否一定有一副药方至少含有4种烈性药？（证明或否定）2．21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛，（1）每一个参赛者最多解出6道题；（2）对每一个女孩和每一个男孩至少有一道题被这一对孩子都解出。求证：有一道题至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出。3．求证：存在无穷多个正整数n，使得可将3n个数1,2,…,3n排成数表a1,a2…anb1,b2…bnc1,c2…cn满足：（1）a1+b1+c1=a2+b2+c2=…=an+bn+cn=，且为6的倍数。（2）a1+a2+…+an=b1+b2+…+bn=c1+c2+…+cn=，且为6的倍数。4．给定正整数n，已知克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，…，n克的所有物品，求k的最小值f(n)。5．空间中有1989个点，其中任何3点都不共线，把它们分成点数各不相同的30组，在任何3个不同的组中各取一点为顶点作三角形。试问：为使这种三角形的总数最大，各组的点数应分别为多少？6．在平面给定点A0和n个向量a1，a2，…，an，且使a1+a2+…+an=0。这组向量的每一个排列niiiaaa,,,21都定义一个点集：A1，A2，…，An=A0，使得nniiiAAaAAaAAan12110,,,21求证：存在一个排列，使由它定义的所有点A1，A2，…，An-1都在以A0为角顶的某个600角的内部和边上。7．设m,n,k∈N，有4个酒杯，容量分别为m,n,k和m+n+k升，允许进行如下操作：将一个杯中的酒倒入另一杯中或者将另一杯倒满为止。开始时，大杯中装满酒而另3个杯子却空着，问：为使对任何S∈N，Sm+n+k，都可经过若干次操作，使得某个杯子中恰有S升酒的关于m,n,k的充分必要条件是什么？8．设有30个人坐在一张圆桌的周围，其中的每个人都或者是白痴，或者是聪明人。对在座的每个人都提问：“你右边的邻座是聪明人还是白痴？”聪明人总是给出正确的答案，而白痴既可能回答正确，也可能回答不正确。已知白痴的个数不超过F，求总可以指出一位聪明人的最大的F。9．某班共有30名学生，每名学生在班内都有同样多的朋友，期末时任何两人的成绩都可分出优劣，没有相同的。问：比自己的多半朋友的成绩都要好的学生最多能有多少人？