第20届全国希望杯数学邀请赛高一数学第二试试题及答案

第20届全国希望杯高一数学邀请赛第二试（第1类）一、选择题（每题4分，40分）1、设的定义域为D，又()()().hxfxgx若(),()fxgx的最大值分别是M，N，最小值分别是m，n，则下面的结论中正确的是（）A．()hx的最大值是M+NB．()hx的最小值是m＋nC．()hx的值域为{|}xmnxMND．()hx的值域为{|}xmnxMN的一个子集2、方程log(0,1)xaaxaa的实数根的个数为（）A．0B．1C．2D．33、已知函数32()1(0)fxaxbxcxa，且(5)3f，那么使()0fx成立的x的个数为（）A．1B．2C．3D．不确定的4、设22{(,)|Sxyxy是奇数，,}xyR,22{(,)|sin(2)sin(2)Txyxy＝22cos(2)cos(2),,}xyxyR，则S，T的关系是（）A．STB．TSC．S=TD．ST5、定义集合M,N的一种运算*，：1212*{|,,}MNxxxxxMxN，若{1,2,3}M，N={0,1,2}，则M*N中的所有元素的和为（）A．9B．6C．18D．166、关于x的整系数一元二次方程20(0)axbxca中，若ab是偶数，c是奇数，则（）A．方程没有整数根B．方程有两个相等的整数根C．方程有两个不相等的整数根D．不能判定方程整数根的情况7、设x是某个三角形的最小内角，则coscossin22xyxx的值域是（）A．(2,2]B．31(2,]2C．31(1,]2D．(0,2]8、已知e是自然对数的底，那么1,,sin,taneeee的大小关系是（）A．1sintaneeeeB．1sintaneeeeC．1tansineeeeD．1tansineeee9、()fx是定义在R上的奇函数，且(2)fx是偶函数，则下列命题中错误的是（）A．()fx的图像关于x＝2对称B．()fx的图像关于点(4,0)对称C．()fx的周期为4D．()fx的周期为810、某航空公司经营A,B,C,D四个城市之间的客运业务，其中部分单程机票的价格如下：A,B区间：2000元；A,C区间：1600元；A,D区间：2500元；B,C之间：1200元；C,D区间：900元。已知这家公司规定的机票与城市间的直线距离成正比，则B,D区间机票价格为（）A．1200元B．1500元C．1600元D．2000元二、填空题（每题4分，共40分）11、如图1，动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿B—C—D—A的顺序运动，得到以点P运动的路程x为自变量，△ABP的面积y为函数的图像，如图2，则梯形ABCD的面积为。12、锐角△ABC的三个内角的度数成等比数列，且B＝2A，则其中最小角的值等于。13、已知公差大于零的等差数列的第5项与第13项的绝对值相等，则当前n项和最小时，n＝。14、已知等比数列｛an｝中，a3＝2，当此数列的前5项和取得最小值时，前5项依次为。15、已知3432()23,(())4474fxxxfgxxxxx，则()gx的各项系数（包括常数项）的和等于。16、设O为△ABC内一点,则OABCOBCAOCAB=。17、Thenumber2009hasthefollowingproperties:①Itisdivisibleby7;②Whendivisibleby8,ithasaremainderof1;③Whendivisibleby9,ithasaremainderof2。The3－digitnumberwiththeabovepropertiesis。18、若21324xy，则23xy的取值范围是。19、2009applesaredistributedamonganumberofchildrensothateachchildgetsadifferentpositivemumberofapples。Howmanychildrenarethereatthemost？Answer：20、设集合A＝｛1，2，3，…，n｝，则集合A的所有非空子集中元素和的和等于。三、解答题每题都要写出推算过程21、本题10分图1图2OABCD81828已知关于x的不等式250axxa的解集为M，若2及－1有且恰有一个不在M中，求实数a的取值范围。22、本题满分15分向量a，b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1（1）当|a＋tb|取得最小值时，求t的值；（2）当|a＋tb|取得最小值时，证明：b⊥（a＋tb）23、本题满分15分数列｛an｝是各项均为正数的等差数列，前n项的和为Sn。数列｛bn｝是等比数列，且满足111ba，33bS＝144，{}nab的公比＝16，求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式。参考答案DBCADACCCB11、10412、32713、8或914、2，－2，2，－2，215、0或216、017、49718、[9,17]19、6220、2(1)2nnn21、当2,1MM时，有250450a11aaaa或＝解得a的范围为55][1,)(4,)2（－，－当2,1MM时，有250a4501aaaa或＝4解得a的范围为综上所述：a的范围为55][1,)(4,)2（－，－22、（1）22||1atbtt，∴当t＝12时，||atb最小（2）当||atb最小时，t＝12，b·（a－12b）＝ab－12b2＝1212＝0，∴b⊥（a＋tb）23、an＝2n－1，1n1*44nnnbN－或（－），