第2届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答

第2届国际物理奥林匹克竞赛试题与解答（1968年于匈牙利的布达佩斯）【题１】在倾角为300的斜面上，质量为m2＝4kg的木块经细绳与质量为m1＝8kg、半径为r＝5cm的实心圆柱体相连。求放开物体后的加速度。木块与斜面之间的动摩擦系数μ＝0.2，忽略轴承的摩擦和滚动摩擦。解：如果绳子是拉紧，则圆柱体与木块一同加速运动，设加速度为a，绳子中的张力为F，圆柱体与斜面之间的摩擦力为S，则圆柱体的角加速度为a／r。对木块有：m2a＝m2gsinα－μm2gcosα＋F对圆柱体有：m1a＝m1gsinα－S－FSr＝Ia／r其中I是圆柱体的转动惯量，Sr是摩擦力矩。解以上方程组可得221221cossin)(rImmmmmga（1）2212212cossin)(rImmmmmgrIS（2）2212212sincos)(rImmrIrImgmF（3）均匀圆柱体的转动惯量为221rmI代入数据可得a＝0.3317g＝3.25m/s2S＝13.01NF＝0.196N讨论：系统开始运动的条件是a＞0。把a＞0代入（1）式，得出倾角的极限α1为：3tan2121mmm0.0667α1＝3049/单从圆柱体来看，α1＝０；单从木块来看，α1＝tg-1μ＝11019/如果绳子没有拉紧，则两物体分开运动，将F＝0代入（3）式，得出极限角为：3)1(tan212Irm0.6m1m2a1,3,5α2＝30058/圆柱体开始打滑的条件是S值（由（2）式取同样的动摩擦系数算出）达到μm1gcosα，由此得出的α3值与已得出的α2值相同。圆柱体与木块两者的中心加速度相同，都为g（sinα－μgcosα）圆柱体底部的摩擦力为μm1gcosα，边缘各点的切向加速度为a＝μ（Irm21）gcosα，【题2】一个杯里装有体积为300cm3、温度为00C的甲苯，另一个杯里装有体积为110cm3、温度为1000C的甲苯，两体积之和为410cm3。求两杯甲苯混合以后的最终体积。甲苯的体膨胀系数为β＝0.001（0C）－１，忽略混合过程中的热量损失。解：若液体温度为t1时的体积为V1，则在00C时的体积为11101tVV同理，若液体温度为t2时的体积为V2，则在00C时的体积为22201tVV如果液体在00C时的密度为d，则质量分别为m1＝V10dm2＝V20d混合后，液体的温度为212211mmtmtmt在该温度下的体积分别为V10（１＋βt）和V20（１＋βt）。所以混合后的体积之和为V10（１＋βt）＋V20（１＋βt）＝V10＋V20＋β（V10＋V20）t＝V10＋V20＋β21221121mmtmtmdmm＝V10＋V20＋β（dtmdtm2211）＝V10＋βV10t1＋V20＋βV20t2＝V10（１＋βt1）＋V20（１＋βt2）＝V1＋V2体积之和不变，在本题仍为410cm3。当把多杯甲苯不断地加入进行混合，对任何数量的甲苯这个结果都成立。【题3】光线在垂直玻璃半圆柱体轴的平面内，以450角射在半圆柱体的平面上（如右图），玻璃的折射率为2。试问光线在何处离开圆柱体表面？解：用角度Ψ描述光线在玻璃半圆柱体内的位置如解图2.3所示。按照折射定律：2sin45sin0得：sin＝，＝300所有折射光线与垂直线的夹角均为300，有必要研究一下，当Ψ角从00增至1800的过程中发生了什么现象。不难看出，Ψ角不可能小于600。光线从玻璃射向空气全反射的临界角由解图3.2221sinnt求出：t＝450，则：Ψt＝1800―600―450＝750如果Ψ角大于750，光线将离开圆柱体。随着Ψ角的增加，光线将再次发生全反射，此时Ψt＝900＋300＋450＝1650故当：750＜Ψ＜1650时光线离开圆柱体。出射光线的圆弧所对应的圆心角为1650―750＝900。【实验题】参加者每人领取三个封闭的盒子，每个盒上有两个插孔。不许打开盒子，试确定盒中元件的种类，并测定其特性。可供使用的是，内阻和精度已知交流和直流仪器，以及交流电源（频率50HZ）和直流电源。解：在任何一对插孔中都测不到电压，因此，盒子都不含有电源先用交流，再用直流测电阻，有一盒给出相同的结果。结论是：该盒包含一个简单电阻，其阻值由测量确定。另一盒有极大的直流电阻，但对交流来说是导体。结论是：该盒包含一个电容，其电容值由RC1算得。第三个盒子对交流和直流都是导体，而交流电阻较大。结论是：该盒包含一个电阻和电感，两者串联。电阻和电感值可从测量中算得。AOB1,3,5