1986年中国数学奥林匹克试题

第一届中国数学奥林匹克(1986年)1.已知a1,a2,...,an为实数，如果它们中任意两数之和非负，那么对于满足x1+x2+...+xn=1的任意非负实数x1,x2,...,xn，有不等式a1x1+a2x2+...+anxn≧a1x12+a2x22+...+anxn2成立。请证明上述命题及其逆命题。2.在三角形ABC中，BC边上的高AD=12，∠A的平分线AE=13，设BC边上的中线AF=m，问m在甚么范围内取值时，∠A分别为锐角，直角、钝角？3.设z1,z2,...,zn为复数，满足|z1|+|z2|+...+|zn|=1。求证：上述n个复数中，必存在若干个复数，它们的和的模不小于1/6。4.已知：四边形的P1P2P3P4的四个顶点位于三角形ABC的边上。求证：四个三角形△P1P2P3、△P1P2P4、△P1P3P4、△P2P3P4中，至少有一个的面积不大于ABC的面积的四分之一。5.能否把1,1,2,2,...,1986,1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，....，两个1986之间夹着一千九百八十六个数。请证明你的结论。6.用任意的方式，给平面上的每一点染上黑色或白色。求证：一定存在一个边长为1或3的正三角形，它的三个顶点是同色的。