1988年中国数学奥林匹克试题

第三届中国数学奥林匹克(1988年)1.设a1,a2,...,an是给定的不全为零的实数，r1,r2,...,rn为实数，如果不等式r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+rn(xn-an)≦√(x12+x22+...+xn2)+√(a12+a22+...+an2)对任何实数x1,x2,...,xn成立，求r1,r2,...,rn的值。2.设C1、C2为同心圆，C2的半径是C1的半径的2倍，四边形A1A2A3A4内接于C1，将A1A4延长，交圆C2于B1。设A1A2延长线交C2于B2，A2A3延长线交圆C2于B3，A3A4延长线交圆C2于B4。试证：四边形B1B2B3B4的周长2(四边形A1A2A3A4的周长)。并确定的号成立的条件。3.在有限的实数列a1,a2,...,an中，如果一段数ak,ak+1,...,ak+l-1的算术平均值大于1988，那么我们把这段数叫做一条“龙”，并把ak叫做这条龙的“龙头”(如果某一项an1988，那么单独这一项也叫龙)。假设以上的数列中至少存在一条龙，证明：这数列中全体可以作为龙弄的项的算术平均数也必定大于1988。4.(1)设三个正实数a、b、c满足(a2+b2+c2)22(a4+b4+c4)。求证：a、b、c一定是某个三角形的三条边长。(2)设n个正实数a1,a2,...,an满足(a12+a22+...+an2)2(n-1)(a14+a24+...+an4)其中n≧3。求证：这些数中任何三个一定是某个三角形的三条边长。5.给出三个四面体AiBiCiDi(i=1,2,3)，过点Bi、Ci、Di作平面αi、βi、γi(i=1,2,3)，分别与棱AiBi、AiCi、AiDi垂直(i=1,2,3)，如果九个平面αi、βi、γi(i=1,2,3)相交于一点E，而三点A1、A2、A3在同一直线l上，求三个四面体的外接球面的放条(形状怎样？位置如何？)。6.如n是不小于3的自然数，以f(n)表示不是n的因子的最小自然数，例如f(12)=5。如果f(n)3，又可作f(f(n))。类似地，如果，f(f(n))≧3，又可作f(f(f(n)))等等。如果f(f(...f(n)...))=2，共有k个f，就把k叫做n的“长度”。如果ln表示n的长度，试对任意自然数n(n≧3)，求ln。并证明你的结论。