2004年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区)

2004年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区)一、填空题(每小题4分，共32分)1.已知：|x|=3，|y|=2，且xy＜0，则x+y的值等于______.2.设a-b=2+3，b-c=2-3，则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为______.3.已知实数x1，x2满足21x-6x1+2=0和22x-6x2+2=0，求2112xxxx的值为______.4.如果一次函数y=mx+n与反比例函数3nxyx的图象相交于点(12,2)，那么该直线与双曲线的另一个交点为______.5.如图1，要把边长为6的正三角纸板剪去三个三角形，得到正六边形，则它的边长为___.6.如图2，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，则图中阴影部分的面积为______.7.如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N，则AN:AB的值为______.8.如图4，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值为_____.二、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴上给出关于a，b的四种位置关系如图所示，则可能成立的有()(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种2.已知a、b、c均为正数，方程ax2+bx+c=0有实根，则方程acx2+b2x+ac=0()(A)有两个不相等的正根(B)有一个正根，一个负根(C)不一定有实根(D)有两个不相等的负根3.当k取任何实数时，抛物线y=45(x-k)2+k2的顶点所在曲线是()(A)y=x2(B)y=-x2(C)y=x2(x＞0)(D)y=-x2(x＞0)4.如图5，已知AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=8，BE=3，则AC等于()(A)8(B)5(C)3(D)345.如图6，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的有()①∠APB=∠EPC②∠APE=90°③P是BC的中点④BP:BC=2:3(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个6.如图7，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B，已知两圆的半径r1=10，r2=17，圆心距O1O2=21，则公共弦等于()(A)265(B)16(C)67(D)17三、解答题1.(12分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4，求23bca的值.2.(12分)如图8，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形.操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去.(1)请你设计出两种符合题意的分割方案图;(2)设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积(S)填入下表：分割次数(n)123…最小直角三角形的面积(S)14a2…(3)在条件(2)下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来.3.(17分)某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.4.(17分)如图9，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1.(1)求△AOD和△BCD的面积；(2)若F是线段BE上任一点，FG⊥AG，G是垂足，设线段CG和OF的长分别是x和y，试写出y与x之间的关系式.(不要求写出x的取值范围).参考答案一、1.1或-12.153.16，24.(-1,-52)5.26.12ab7.1:38.105二、1.B2.D3.A4.D5.A6.B三、1.甲看错了二次项系数，设他所解的方程为a′x2+bx+c=0，于是有：2+4=-'ba，2×4='ca，∴.①设乙看错了一次项系数的符号，则他所解的方程为ax2-bx+c=0.于是-1+4=ba.②由①，②知，△=b2-4ac=b2-4·3b·(-43b)=259b2≥0，与题设矛盾.故乙看错的只是常数项，即他所解的方程为ax2+bx-c=0，则-1+4=-ba.③由①，③可知：.2.(1)(2)，.(3)(n≥1，且n为整数)3.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529.②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5.③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜2553.由于y是整数，得y=55，从而得x=76.答：略.4.(1)由切割线定理，得AE·AB=AD2.∴1×(1+2OE)=22，解得EO=32.∵D为切点，∴AD⊥OD.∵S△AOD=12AD·OD=12AD·OE=32.又由切线长定理，CD=CB.在Rt△ABC中，AB2+BC2=(AD+CD)2.∵AB=2EO+AE=4，∴42+CD2=(2+CD)2.解得：CD=3.∴AC=AD+CD=5.过点D作DM∥AB交BC于M.∵，∴，∴S△BCD=12BC·DM=12×3×125=185.(2)当AO≤AF≤AB时，∵△AFG∽△ACB，∴，..当AE≤AF＜AO时，同时有：，化简得：.