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2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(2007年4月15日)本卷满分为150分,考试时间为120分钟题号一二三总分151617得分一、选择题:本大题共8小题,每小题6分,共48分。题号12345678得分评卷人答案1、已知集合|1,AxxxR,ABR,则集合B不可能...是()A、|1,xxxRB、|1,xxxRC、|1,xxxRD、0,12、已知sin36a,则sin108等于()A、3aB、334aaC、334aaD、221aa3、已知cba,,均为正数,且都不等于1,若实数zyx,,满足0111,zyxcbazyx,则abc的值等于()A、1B、2C、3D、44、将正整数中所有被7整除的数删去,剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列na,则100a等于()A、114B、115C、116D、1175、今有一组实验数据如下:x01234y15312最能近似地表达这些数据规律的函数模型是()A、xybaB、21ybxaxC、2()yxxabD、sin()yAxB6、已知函数2fxxbxc,若方程fxx无实根,则()A、对一切实数x,不等式ffxx都成立B、对一切实数x,不等式ffxx都成立C、存在实数b和c,使得不等式ffxx对一切实数x都成立D、不存在实数b和c,使得不等式ffxx对一切实数x都成立7、某流程如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是()A、2()fxxB、()1sinfxxC、()ln26fxxxD、2()lg(1)fxxx8、已知点O是ABC所在平面内的一点,3260OAOBOC且::5:4:3ABBCCA,下列结论错误..的是()A、点O在ABC外;B、::6:3:2AOBBOCCOASSSC、点O到,,ABBCCA距离的比是72:45:40D、,,,OABC四点共圆;二、填空题:本大题共6小题,每小题8分,共48分。9、函数()coscos()2fxxx的最小正周期是.10、设12,ee是两个不共线的向量,若向量12()aeeR与向量12(4)bee共线且方向相同,则.11、已知,ab满足约束条件:2122ababba,则ab的最大值等于.12、已知函数11,021,0xxfxfxx,则13()5f21()5f(填“”或“”).13、现有1000个苹果,分别装到10个箱子里,要求可随意拿到任何数目的苹果但不拆箱,得分评卷人是否可行?若行,每个箱子放的苹果数分别是多少?若不行,请说明理由;答:.14、记,max,,aababbab设221max,xytxy,其中,xyR,则t的最小值为.三、解答题:本大题共3小题,共54分。15、(本题满分16分)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,G为ABC的重心,且满足ABCGBCAG.(1)证明:222,,abc成等差数列;(2)求函数223sinsin23yBB的最大值.16、(本题满分18分)已知函数()afxxax,(1)若方程()0fx有正根,求实数a的取值范围;(2)设()|()|gxxfx,且()gx在区间[0,1]上是减函数,求实数a的取值范围.得分评卷人得分评卷人17、(本题满分20分)已知斐波那契数列nF满足:11F,21F,21*nnnFFFnN,若数列1nnFF是等比数列(为实常数).(1)求出所有的值,并求数列nF的通项公式;(2)求证:12200711172FFF得分评卷人2007年温州市高一数学竞赛参考答案与评分标准一、选择题(每小题6分,共48分)题号12345678答案BBACCADD二、填空题(每小题8分,共48分)9、210、211、5312、<13、行,各个箱子放的苹果数依次为1,2,4,8,16,32,64,128,256,48914、2三、解答题(共54分)15、(1)证明:由已知得11()()()()33CBCACBCAACABACAB2222||||||ACBCAB---------------------------------------------------------7分;即222,,abc成等差数列;-------------------------8分;(2)、由(1)得2222bac,22222112cos222acacbBacac03B,----------------------------------------------------------------------12分;1333cos2sin2cos2sin(2)3223yBBBB又因为,3By当的最大值为332.-----------------------------------------------16分。16、解:(1)方程0axax有正根方程20xaxa有正根.-----------2分24aa①当0,即0a或4a时,经检验4a符合题意.-------------------4分②当0,即4a或0a时,设方程20xaxa的两个根为1x、2x,4a时,使得121200xxxx成立,所以4a符合题意0a时,使得120xx成立,所以0a符合题意.综上,4a或0a--------------------------------------------------9分(2)22()|()|24aagxxa①当204aa即04a时,()gx在区间(,]2a上是减函数,又已知()gx在区间[0,1]上是减函数,12a即2a,24a--------------------------------------------------12分②当204aa即40aa或时,设方程()0gx的两根为12,xx且12xx,此时()gx在区间1(,]x或区间2[,]2ax上是减函数,若[0,1]1(,]x,则11121(1)0axf得2a4a-------------------------------------------------15分若[0,1]2[,]2ax,则2021ax021(1)0af此时a不存在综上,2a--------------------------------------------------18分17、(1)解:设211()(0)nnnnFFqFFq则21()nnnFqFqF又因为21nnnFFF11qq解得151522151522qq或---------------------------------------3分;11151522nnnnFFFF数列和都是等比数列111515()221515()22nnnnnnFFFF两式相减得,11515[()()]225nnnF----------------------------------------8分;(2)证:显然0nF,211nnnnFFFF,nF为递增数列.21nnnnnFFFFF,即22nnFF------------------------------------------12分;22210011001759752007200520035225,2225,,22225FFFFFFFFF222100010008610862006200420026228,2228,,22228FFFFFFFFF------------------------------------------16分;21001212200710011000100011111111111111()(235825252528281111[1()][1()]15111115111112222)1128235858235858112255972602FFF12200711172FFF--------------------------------------------------20分;
本文标题:2007年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
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