2009年湖南高中数学竞赛A卷

2009年湖南省高中数学竞赛A卷试题一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1、设z是复数，()az表示满足1nz的最小正整数n，则对虚数单位i，()ai（C）A.8B.6C.4D.2【解析】()ai1ni，则最小正整数n为4，选C.2、函数()fx的定义域为R，若(1)fx与(1)fx都是奇函数，则(C)(A)()fx是偶函数(B)()fx是奇函数(C)(3)fx是奇函数(D)(3)fx是偶函数111211122244,33113fxfxfxftftfxfxfxftftftftfxfxTfxxfxfxfx为奇函数为奇函数为奇函数f3、在区间[1,1]上随机取一个数x，cos2x的值介于0到21之间的概率为(A).A.31B.2C.21D.32【解析】:在区间[1,1]上随机取一个数x,即[1,1]x时,要使cos2x的值介于0到21之间,需使223x或322x∴213x或213x，区间长度为32，由几何概型知cos2x的值介于0到21之间的概率为31232.故选A.4、22223291550A72B73C144D146fxRRfxxfxxxxf设为，且对任意实数有，则的值为（）222222120150325422012320132505422012120112015025422019151223201320154220125091522222150146xxxxxxxxxxfffff分析：5、11200911,2,4036080403607840360824036099nnnnaanABCD已知数列满足a=0，a=a+1+2,则a=21200911111,4036080nnnaaan分析：两边加得a=6、ABACABAC1ABACBC0ABC2ABACABACABCD已知非零向量与满足＋＝且＝，则为三边均不相等的三角形，　直角三角形，　　等腰非等边三角形，　　等边三角形。ABACABAC1BC0ABCBAC23ABACABAC分析：＋＝为等腰三角形，＝＝。二、选择题（本大题共8个小题，每小题7分，满分56分，请将正确的答案填在横线上。）7、1594141414141,_________.nnnnnnNCCCC对于4121212.nnn8、ABCDBCADAC0在三角形中，是边的中点，若＝，则tanC-cotA的最小值为＿＿。2DCCAcos,sin0,,2sinsinsincos31cos11cos21cos2sin32sincos3,sin2.41ADABADABykkkkyyy分析：以所在的直线为x轴，D的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。不妨设tanC-cotAtanC+tanBAD=9、12444111666nnn位位位计算：＋－＝＿＿＿＿。1144488896667nnn位－位－位＝＝10、3,1,Rlog,1mmxmxxxx已知函数f=在实数集上单调递增，则实数m的取值范围是＿＿＿。1133lim32lim0,30,,3.22xxfxmfxmmm分析：11、222104xybb以双曲线的离心率为半径，右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为＿＿＿＿＿。2423.23cbbebea分析：由双曲线的示意图可知12、223223xxxx方程+=11的所有实数根之和为＿＿＿。22222222223197143223211131625322355111216353223551121977441032232111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx分析：分段讨论知舍去＋各根之和为－13、2201212111nnnnxxx已知多项式++=b+bx+bx++bx,且b+b++b=1013，则正整数n的一个可能值是＿＿＿。21013,9.nnn分析：214、1111111ABCDABCDABCDADDAMNMNBD正方体－的面、的中心分别为、，则异面直线和所成的角的正弦值为＿＿＿＿。33三、解答题（本大题共5个小题，满分64分）15、（本小题满分12分）2,11,1,1axxbxtxb已知向量=，=,若函数f=a在区间上是单调增函数，求t的取值范围。232/22113201,1321,15.xxxxtxxtxtxxxtxtxxxt分析：ff在上恒成立，在上恒成立，16、（本小题满分12分）1234122334411234ABCDsinsinsinsin4sinsinsinsin.如图，圆内接四边形的一条对角线将一对对角分成四个角、、、。求证：22224.4.0ACABBCADCDABBCADCD分析：由正弦定理知只要证：BD由托列密定理知ACBD=ABCD+ADBC,只要证：ABCD+ADBCABCD－ADBC此式成立。故原式成立。4321ACBD17、（本小题满分12分）21111012110101,1111111niiiiiinnnnnijijijijaaaaannnn如果一个数列的任意相邻三项a,a,a满足aaa，则称该数列为“对数性凸数列”，设正项数列a,a,a,a是“对数性凸数列”，求证：0112101112222201112112122011121012120111211210111111nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaannnaaaaaanaaaanaaaaaanaaaaaaaaaaaaaaanaa分析：22012120220112211220202122132110112222120000102222212110,nnnnnnnnnnniiinnnnnnnnnaaaaaaaanaaaaaaaaaaaanaaaaaaaaaanaanaa左边aaaaaaaaaaaa故原式成立。18、（本小题满分14分）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道，若该设备水平截面矩形的宽为1米，长为7米，试问：该设备能否水平移进直角型过道？（AB＝7米，BC＝1米）3m3mMODCAB3m3mFCDOMABPQ分析：如图，建立直角坐标系。22max2222AB1,49,OMCDF77OFOM32BP,,sin71,7749,272249773535632OF22732.141422FFxyababBCAQPbaxyabCDxyababbatababababtabtabtt设的方程为设直线交于，只要判断＝。＝的方程为：设t=t=不能通过。19、（本小题满分14分）设有2009个人站成一排，从第一名开始1至3报数，凡报到3的就退出队伍，其余的向前靠拢站成新的一排，再按此规则继续进行，直到第p次报数后只剩下3人为止，试问最后剩下3人最初在什么位置？分析:易知最后剩下的3人中前2人分别为最初的第1名和第2名。设第3人是最初的第k名。用下面的方法可得k＝1600。20096691340446894298596198398132266881785911939802854183612248165113826241317,1122133255388412126181892727p每次减去该数的三分之一的整数部分：－－－－－－－－－－－－－－－－－，从后开始每次加上前次被删去的个数。1441412162623193934714014070210210105315315158473473237710710355106510655331598159821600.k