2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

第1页，共9页2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.设71a=-，则32312612aaa+--=（）A.24.B.25.C.4710+.D.4712+.【答】A.由71a=-，得282762aa=-=-，故226aa+=.所以32223126123(2)6612aaaaaaaa+--=++--=261212661224aa+-=´-=.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（）A.72.B.10.C.105.D.73.【答】C.延长CA至D，使AD＝AB，则1D=ABD=CAB=C2ÐÐÐÐ，所以△CBD∽△DAB，所以BDCD=ABBD，故2BDABCD7(87)105=×=´+=，所以BD105=.又因为CDÐ=Ð，所以105BCBD==.3．用[]x表示不大于x的最大整数，则方程22[]30xx--=的解的个数为（）A.1.B.2.C.3.D.4.【答】C.由方程得232[]xx-=，而[]xx£，所以232xx-£，即2230xx--£，解得13x-££，从而[]x只可能取值1,0,1,2,3-.当[]1x=-时，21x=，解得1x=-；当[]0x=时，23x=，没有符合条件的解；当[]1x=时，25x=，没有符合条件的解；当[]2x=时，27x=，解得7x=；DBAC鹏博奥数网页，共9页当[]3x=时，29x=，解得3x=.因此，原方程共有3个解.4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（）A.314.B.37.C.12.D.47.【答】B.不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类：（1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为12；（2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为14.所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法.要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种.因此，所求的概率为123287=.5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sinÐCBE＝（）A.63.B.23.C.13.D.1010.【答】D.设BC的中点为O，连接OE、CE.因为AB⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE.又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此CEOC1=BEAB3=，即BE3CE=.又CE⊥BE，所以22BC=BE+CE=10CE，故sinÐCBE＝CE10=BC10.6．设n是大于1909的正整数，使得19092009nn--为完全平方数的n的个数是（）A.3.B.4.C.5.D.6.【答】B.设2009na-=，则190910010012009nanaa--==--，它为完全平方数，不妨设为21001ma-=（其中m为正整数），则21001ma=+.验证易知，只有当1,2,3,7m=时，上式才可能成立.对应的a值分别为50，20，10，2.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共8页）ODABCE鹏博奥数网页，共9页因此，使得19092009nn--为完全平方数的n共有4个，分别为1959，1989，1999，2007.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t是实数，若,ab是关于x的一元二次方程2210xxt-+-=的两个非负实根，则22(1)(1)ab--的最小值是____________.【答】3-.因为,ab是关于x的一元二次方程2210xxt-+-=的两个非负实根，所以2(2)4(1)0,10,2,tabtabìD=---³ï=-³íï+=î解得12t££.2222222(1)(1)()()1()()21abababababab--=-++=-+++22(1)42(1)14ttt=--+-+=-，当1t=时，22(1)(1)ab--取得最小值3-.2．设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为______.【答】2mn.设△ABC的面积为S,则因为△ADE∽△ABC，所以ADESADABSD=.又因为△BDF∽△BAC，所以BDFSBDABSD=.两式相加得1ADEBDFSSADBDSSABABDD+=+=，即1mnSS+=，解得2()Smn=+.所以四边形DECF的面积为2()2mnmnmn+--=.3．如果实数,ab满足条件221ab+=，22|12|21ababa-+++=-，则ab+=______.【答】1-.因为221ab+=，所以11,11ab-££-££.由22|12|21ababa-+++=-可得2222|12|21121abbaaaaa-+=---=----222aa=--，从而2220aa--³，解得10a-££.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共8页）FEBCAD鹏博奥数网页，共9页从而120ab-+³，因此21222abaa-+=--，即22122(1)bab+=-=--，整理得2230bb--=，解得1b=-（另一根32b=舍去）.把1b=-代入212ba+=-计算可得0a=，所以1ab+=-.4．已知,ab是正整数，且满足15152()ab+是整数，则这样的有序数对(,)ab共有_____对.【答】7.设15152kab+=（k为正整数），则21515154kkbaa=+-，故15a为有理数.令2215qap=，其中,pq均为正整数且(,)1pq=.从而2215aqp=，所以2|15q，故1q=，所以151ap=.同理可得151bm=（其中m为正整数），则112kpm+=.又1,1mp³³，所以1122kpm=+£，所以1,2,3,4k=.（1）1k=时，有1112pm+=，即(2)(2)4pm--=，易求得(,)(4,4)pm=或（3,6）或（6,3）.（2）2k=时，同理可求得(,)(2,2)pm=.（3）3k=时，同理可求得(,)(2,1)pm=或（1,2）.（4）4k=时，同理可求得(,)(1,1)pm=.因此，这样的有序数对(,)ab共有7对，分别为（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二试（A）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)yxbxcc=++的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第3页（共8页）鹏博奥数网页，共9页（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点.（2）如果AB恰好为⊙P的直径且2ABCS△＝，求b和c的值.解（1）易求得点C的坐标为(0,)c，设1A(,0)x，2B(,0)x，则12xxb+=-，12xxc=.设⊙P与y轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则121xxcOAOBODOCcc´====.因为0c，所以点C在y轴的负半轴上，从而点D在y轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).…………………………………10分（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点C的坐标为(0,1)-，即1c=-.…………………………………15分又222121212()4()44ABxxxxxxbcb=-=+-=--=+，所以21141222ABCSABOCb=×=+×=△，解得23b=±.…………………………………20分二．（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，1I、2I分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求1I2I.解作1IE⊥AB于E，2IF⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，22AB=AC+BC5=.又CD⊥AB，由射影定理可得2AC9AD=AB5=，故16BD=ABAD5-=，2212CD=ACAD5-=.…………………………………5分因为1IE为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以1IE＝13(ADCDAC)25+-=.…………………………………10分连接D1I、D2I，则D1I、D2I分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠1IDC＝∠1IDA＝∠2IDC＝∠2IDB＝45°，故∠1ID2I＝90°，所以1ID⊥2ID，2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共8页）FEI1I2DBAC鹏博奥数网页，共9页1113IE325DIsinADIsin455===а.…………………………………15分同理，可求得24IF5=，242DI5=.…………………………………20分所以1I2I＝2212DIDI2+=.…………………………………25分三．（本题满分25分）已知,,abc为正数，满足如下两个条件：32abc++=①14bcacababcbccaab+-+-+-++=②证明：以,,abc为三边长可构成一个直角三角形.证法1将①②两式相乘，得()()8bcacababcabcbccaab+-+-+-++++=，即222222()()()8bcacababcbccaab+-+-+-++=，………………………………10分即222222()()()440bcacababcbccaab+-+-+--+-+=，即222222()()()0bcacababcbccaab----+-++=，………………………………15分即()()()()()()0bcabcacabcababcabcbccaab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0bcaabcabcabcabcabc-+----++++=，即222()[2]0bcaababcabc-+--+=，即22()[()]0bcacababc-+--=，即()()()0bcacabcababc-++--+=，…………………………………20分所以0bca-+=或0cab+-=或0cab-+=，即bac+=或cab+=或cba+=.因此，以,,abc为三边长可构成一个直角三角形.……………………………25分证法2结合①式，由②式可得32232232214abcbccaab---++=，2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共8页）鹏博奥数网页，共9页变形，得222110242()4abcabc-++=③………………………10分又由①式得2()1024abc++=，即22210242()abcabbcca++=-++，代入③式，得110242[10242()]4abbccaabc--++=，即16()4096abcabbcca=++-.…………………………………15分3(16)(16)(16)16()256()16abcabcabbccaabc---=-+++++-3409625632160=-+´-=，…………………………20分所以16a=或16b=或16c=.结