2011年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准

2011年广西高二数学竞赛初赛题参考答案及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1.答案：B.解析：不等式0)1|)(|1(xx成立的充要条件是}11|{xxx且，故充分而不必要的条件选B。2.答案：D.解析：本题应知“PBA,,共线，等价于存在,,R使MBMAMP且1”。故选D。3.答案：A.解析：由13)3()(xfxf，知13)6()3(xfxf，所以)6()(xfxf，即()fx是周期函数，周期为6．所以213)1(13)4()456()34(ffff．选A．4.答案：C.解析：由已知可得222(1)(2)yxzyzxyxz①②③，又由②-③得2zx，代入①得23xy，从而43zy，再代入②，得12y.故选C.5.答案：D.解析：令()ufua，lgut，3tax，在[1,1]x上，3tax为减函数，lgut为增函数.要使[1,1]x上()fx为减函数，()ufua应为增函数，故1a.为了保证3tax在[-1,1]上0t恒成立，只需min(3)(1)30taxfa，即3a.因此，13a.故选D.6.答案：C.解析：由1nxn得111()()(1)()222nnxxnn，又)21(nn，)21)(1(nn中必有一个是正整数，且111(1)()()2222nnnnn，故2nan.选C.二、填空题（每小题9分，共54分）1．答案：250.解析：因为1112(2)nnnaSSnn，119112aS，所以112nan.又510a，610a。所以，当5n时，nnba，210nnTSnn；当5n时，nnba，225250(10)1050nnTSSnnnn.所以2210(5)1050(5)nnnnTnnn.故22020102050250T.2．答案：14a.解析：易得)3,1(A，设axfx12)(，5)7(2)(2xaxxg，要使CBA，只需)(xf、)(xg在区间)3,1(上的图象均在x轴下方，其充要条件是0)1(f，0)3(f，)1(g0)3(,0g，由此推出.14a3．答案：1,3.解析：由222452(1)3yxxx，知(1,3)a.设(,)bxy，则由题意有304xyxy，解得31xy，所以(3,1)b.4．答案：92.解析：易知12aa，所以1a不是最大的.数列{}na的最大项na应满足11nnnnaaaa，从而有111119931993199319931nnnnnnnnnn，即119(19)()(93)09319(18)()(92)093nnnnnn①②.由①式可得93n，由②式可用反证法证得92n.因此，当na取得最大值时92n.5．答案：3x.解析：由已知有20112011(6)(6)()()xxxx，设2011()fxxx，则(6)()fxfx.因()fx在R上单调递增，故6xx，3x.6．答案：12x或32x.解析：设)0()(abaxxf，记)}({)(xfffxfn，其中含有n个f，则)1()()]([)(22abxabbaxaxffxf，).1()]1([)]}([{)(2323aabxababxaaxfffxf以此类推有.1)1()1()(1010891010aabxaaaabxaxf由题设可知102410a且.10231)1(10aab所以1,2ba或.3,2ba即12)(xxf或32)(xxf。三、解：由已知等式有22caab，由正弦定理得22sinsinsinsinCAAB①，即：2sin2cos22cos2sin2sinsin)sin)(sinsin(sinACACACACBAACACBAACACsinsin)sin()sin(……5分从而有AACAACAAC180sin)sin(或所以1802CAC或（舍去）.……10分又因2cos2Aacb，由正弦定理得sinsin2sincos2AACB②.而sinsin(180)sin(1803)sin3BACAA，代入②，得2cos3sin22sinsinAAAA……15分3332sincos2sin3cossinsin33180322222AAAAAAAAA3A或2，从而有0A（舍去）或40A，所以280CA，60B.……20分四、解：将1x代入250xxm，得4m，从而方程250xxm的两根分别为1、4，且由题设可知0n，方程2100xxn的两根为正实数.……5分若4是该等比数列的第2项，则方程2100xxn的两根应为16、64，这不符合韦达定理；若4是该等比数列的第4项，不符合韦达定理；……10分若4是该等比数列的第3项，则方程2100xxn的两根应为2、8，符合韦达定理，此时41284mn.……15分同理，将1x代入2100xxn，得9n，从而方程2100xxn的两根分别为1、9，均不合题意.……20分五、解：易知()2xfxa的反函数是12()log()fxxa，……5分于是由题意，有12223log,log(),1,(0)yxyxaya.而132yyy，所以221log2log()xxa，即22log22log()xxa，等价于)3(0)2()1()(22xaxaxx……10分由(1)，得222(1)0xaxa，所以有判别式224(1)484aaa≥0.当0时，即12a时，方程有且只有一个实数解12x，满足条件要求；……15分当0，即12a时，方程有两个相异实根：1112xaa，2112xaa.易见，1x满足要求.要使2x不满足要求，应有112aaa，解得0a.综合上述，可知当12a或0a时有且只有一个实数x满足条件.……20分