2012年新高一数学竞赛16

平面几何竞赛基础16──托勒密定理及其逆定理姓名_____________爱因斯坦曾说：如果平面几何不能激起一个人的好奇心，那么这个人在科学上的发展也不会很远诶．自学处理方法：先阅读完成例题解答，再独立完成练习并将解答回发[e-mail]邮箱，以便批阅反馈．注意要求目的：要求独立完成，可以参阅资料．目的是开学后考试选拔100名思维好且钻研能力强的竞赛选手．一、基本知识定理：圆内接四边形ABCD的两组对边乘积之和等于它的两条对角线的乘积．即：ABCDBCADACBD．其逆命题也成立，称为逆定理；但应用逆定理解题是冷点，应重视它．（注：对于一般的四边形则是“”，称为托勒密不等式）证明：（提示：BCEDCA，交BD于E）DABCE二、重要例题例1．已知：P是等边ΔABC外接圆上的一点，求证：PA=PB+PC．（提示：直接使用）证明：ABCP例2．设多边形7321AAAA是一个正七边形；求证：413121111AAAAAA．（提示：选准四边形）证明：A3A4A5A6A7A1A2例3．如图，设x，y，z为ΔABC的外心O到三边的距离，R，r分别为ΔABC的外接圆和内切圆的半径；求证：x+y+z=R+r．（提示：注意选择四点共圆，运用定理）证明：ABCDEFO三、巩固练习16（以下两道题的解答要回发到邮箱[e-mail]）1．如图1，由圆O的弧AB的中点C引弦CD，CE分别与弦AB相交于点F，G；求证：DG•EF=FD•GE+DE•FG．ABCDEFG图12．如图2，已知在ΔABC中，ABAC，∠A的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F，求证：2AF=AB-AC．ABCFE图23．如图3，在ΔABC中，AB=AC，线段AB上有一点D，线段AC的延长线上有一点E，使得DE=AC，线段DE与ΔABC的外接圆交于点T，P是线段AT的延长线上的一点；若点P在ΔADE的外接圆上，求证：点P满足：PD+PE=AT．ABCPETD图3