2015年福建省初中数学竞赛试题(部分)

2015年福建省初中数学竞赛试题参考答（部分）1．已知312a，则3222621aaaa（）A．3B．3C．32D．32【答案】A【解答】由312a，知231a，213a，24413aa，2212aa。∴3232222626112133212222aaaaaaaaaaaa21(31)13a。4．如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F。已知10ABAC，12BC，且133PDPEPF∶∶∶∶。则四边形PDCE的面积为（）A．10B．15C．403D．503【答案】C【解答】如图，连结PA，PB，PC。易知1128482ABCS△。又111222ABCPBCPCAPABSSSSBCPDCAPEABPF△△△△65548PDPEPF，133PDPEPF∶∶∶∶。∴43PD，4PEPF。由PEPF，知点P在BAC的平分线上，A、P、D三点共线。∴222PCPDDC，2222222224196()6439ECPCPEPDDCPE。∴143EC。∴111411440642223233PDCPECPDCESSSPDDCPEEC△△四边形。5．记()Sn为非负整数n的各个数位上的数字之和，如(0)0S，(1)1S，(1995)199524S。则(1)(2)(3)(2015)SSSSL（）A．28097B．28098C．28077D．28087【答案】B（第4题图）（第4题答题图）【解答】设(0)(1)(2)(1999)SSSSSL。则2(1999)2000S，28000S。又(2000)(2001)(2002)(2009)210(0129)65SSSSLL，(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)34567833SSSSSS，∴(1)(2)(3)(2015)28000653328098SSSSL。7．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD上，且45EAF。则CEF△的周长为。【答案】2【解答】如图，在CD的延长线上取点G，使得DGBE，连结GA。则由ABCD为正方形，易得ABEADG△≌△。∴BAEDAG，AEAG。∵45EAF，∴GAFGADDAFBAEDAF9045EAFEAF。于是，在EAF△与GAF△中，AEAG，EAFGAF，AFAF。∴EAFGAF△≌△，EFGF。CEF△的周长112lECEFFCBEGFFCGDGDDFFC。9．已知正整数p，q满足32016pq，则整数对()pq，的个数是。【答案】3【解答】由32016pq，知20163pq，2016620169pqq。由p，q为正整数知，20161214qp为整数。∴214px（其中x为正整数）。同理，214qy（y为正整数）。于是，312xy（x，y为正整数）。∴91xy，62xy，33xy。∴满足条件的整数对()(1481141)pq，，，或(1436144)，，或(149149)，。∴满足条件的整数对()pq，的个数为3。13．如图，ABC△是等腰直角三角形，CACB，点N在线段AB上（与A、B不重合），点M在射线BA上，且45NCM。求证：222MNAMBN。（第7题图）（第7题答题图）【答案】如图，作点A关于直线MC的对称点D，连结DA、DM、DC，DN，则MDCMAC△≌△。∵ABC△是等腰直角三角形，CACB，且45NCM，∴45DCNDCMMCAACNDCM，90(45)4545BCNBCANCAMCAMCADCM。∴DCNBCN。………………………………5分又CDCACB，CNCN。∴DCNBCN△≌△。……………………10分∴NDNB，45CDNCBN。又由MDCMAC△≌△，知18018045135CDMCAMCAB。∴1354590MDNMDCNDC。……………………15分∴MDDN。又MDMA，∴22222MNDMDNAMBN。……………………20分另解：如图，CBN△沿CN翻折得CDN△，则DCNBCN△≌△。∴CDCBCA，DNBN，45CDNCBN，DCNBCN。……5分∵45NCM，∴459045DCMDCNMCNBCNACN45ACNACM。…………………10分又CDCA，CMCM。∴DCMACM△≌△。……………………15分∴MAMD，135CDMCAM，90MDNCDMNDC。∴22222MNDMDNAMBN。……………………20分（第13题）（第13题答题图）