2015年全国各地数学竞赛预赛卷-(11)

2015年全国高中数学联赛辽宁省预赛一、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设241[]iai(其中[]x表示不超过x的最大整数,集合*{|AxxN且|}xa,则集合A中的元素个数是A.4B.6C.8D.122.已知ABC的三边,,abc成等比数列,边,,abc所对的角分别为,,ABC且sinsinsinsincos21ABBCB,则角B为A.4B.3C.2D.233.已知函数22()53196|53196|fxxxxx,则(1)(2)(50)fffA.660B.664C.668D.6724.已知数列{}na是由正整数组成的递增数列,且*212()nnnaaanN,若552a,则7a等于A.102B.152C.212D.2725.在长方体1111ABCDABCD中,11,2,ABAAAD则异面直线1AD与11BD间的距离为A.1B.12C.23D.326.如图,,MN分别为正六边形ABCDEF的对角线,ACCE的內分点,且AMCNACCE,若,,BMN三点共线,则的值是A.33B.13C.22D.12二、本大题共6小题,每小题5分,共30分,请将答案填在题后的横线上.7.已知复数(,zaiaRi为虚数单位,满足21)i在复平面内对应的点在第二象限,且|(1)|2zi,则实数a的取值范围是8.已知实数,ab满足:lg10,1010baab,则lg()ab9.已知数列{}na的前n项和为11,5nSa,且对于任意正整数,mn,都有mnmnaaa,若nSa,对任意*nN恒成立,则实数a的最小值是10.在立方体1111ABCDABCD中,点,MN分别在线段1,ABBB上(不包括线段的端点),并且1AMBN,则1AM与1CN所成角的取值范围是11.一道数学竞赛题,甲,乙,丙单独解出此题的概率分别是111,,abc(其中,,abc都是小于10的正整数),现甲,乙,丙同时独立解答此题,若三人中恰有一人解出此题的概率为715,则甲,乙,丙三人都未解出此题的概率为12.设12,FF为椭圆C的两个焦点,若AB为椭圆一条过点2F的弦,且在1FAB中,11||3,||4,||5FAABBF,则21tanFFB三、解答题:本大题共4小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13(本小题满分20分)设实数,,ab满足0,01.ab(Ⅰ)证明:lnlnln1ln1aabbabab(Ⅱ)证明:[(1)]ln[(1)]ln(1)lnababaabb.14(本小题满分20分)如图,直角ABC的外接圆的圆心为,90OC,过C作AB的垂线,垂足为,D作圆1O分别切弧BC,边,CDDB于,,,EFG同样作圆2O分别弧AC,边,CDDA相切,设圆1O的半径为1r,圆2O的半径为2,rABC的内切圆半径为r,证明:12.2rrr15(本小题满分25分)在数列{}na中,11a,关于x的方程21cos(21)0nnxaxa有唯一解.(Ⅰ)求数列{}na的通项公式;(Ⅱ)设21[1]log(1)nnnba,求证:3nb;(Ⅲ)设2nncna,求数列{}nc的前n项和nS.16(本小题满分25分)设双曲线22:145xyC的左右两个焦点分别是12,,FFP为双曲线上一动点,且在第一象限内,已知12PFF的重心为G,内心为I.(Ⅰ)问是否存在点P,使得12//?IGFF若有,求出点P的坐标,若没有,请说明理由;(Ⅱ)设A为双曲线的左顶点,直线l过右焦点2F与双曲线C交于,MN两点,若,AMAN的斜率分别为12,kk,且1212kk,求直线l的方程.