2015年全国各地数学竞赛预赛卷-(12)

2015年全国高中数学联赛山东省预赛一、填空题:本大题共10小题,每小题8分,共80分,请将答案填在答题卡的相应位置.1.复数z满足||5z,且(34)iz是纯虚数(其中i是虚数单位,满足21)i则复数z的共轭复数是2.方程44sincos1xx的解为3.设函数22(1)sin()1xxfxx的最大值为M,最小值为m,则Mm4.如图,点O是半径为1的球的球心,点,,ABC在球面上,,,OAOBOC两两垂直,,EF分别是圆弧,ABAC的中点,则点,EF在该球面上的球面距离是5.已知,[0,)xy且满足3331xyxy,则2xy的最大值是6.将正整数列1,2,3,中的所有完全平方数去掉后,按原顺序构成数列{}na,则2015a7.把1,2,3,4,5,6这六个数随机排成一列组成一个数列,要求该数列恰好先增后减,这样的数列共有个8.设1a,若关于x的方程xax无实数根,则实数a的取值范围是9.在ABC中,角,,ABC满足ABC,且sinsinsin3coscoscosABCABC,则B10.已知集合{|199}MxNx,现随机选取M中9个元素构成M的子集,记该子集中的最小数为,则的数学期望()E二、本大题共4小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.11(本小题满分15分)求证:不存在这样的函数:{1,2,3}fZ满足对任意的正整数,xy,若||{2,3,5}xy,则()()fxfy.12(本小题满分15分)对任意实数x和正整数n,比较2sinnx和sinsinxnx的大小.13(本小题满分20分)已知椭圆22122:1(0)xyCabab,不过原点的直线l和椭圆相交于两点,.AB(Ⅰ)求OAB面积的最大值;(Ⅱ)是否存在椭圆2C,使得对于2C的每一条切线和椭圆1C均相交,设交于,AB两点,且OAB的面积恰好取得最大值?若存在,求出该椭圆,若不存在,说明理由.14(本小题满分20分)已知数列{}na满足:*11211,()nnnaaanNa(Ⅰ)求证:当2n时,33nan;(Ⅱ)当4n时,求39[]na,其中[]x表示不大于x的正整数)