2015年全国各地数学竞赛预赛卷-(14)

2015年全国高中数学联赛四川省预赛一、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知n为正整数,二项式231()nxx的展开式中含有7x的项,则n的最小值是A.4B.5C.6D.72.在ABC中,三内角,,ABC的对边分别是,,abc,若cos2cos3cosabcABC,则A的大小为A.6B.4C.3D.5123.已知二面角l的大小为30,则由平面上的圆在平面上的正射影得到的椭圆的离心率为A.13B.12C.33D.324.函数()2312fxxx的最大值为M,最小值为m,则Mm的值为A.62B.2C.3D.25.已知正三棱柱PABC的底面ABC是正三角形,该正三棱柱的外接球的球心O满足:0OAOBOC,则二面角APBC的余弦值为A.16B.28C.15D.336.设质数p满足:存在正整数,xy使得22212,12pxpy,则符合条件的质数的个数为A.1B.2C.3D.4二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,请将答案填在题后的横线上.7.已知复数421izi(其中i为虚数单位,满足21)i,则||z8.已知469abc,则121abc9.已知点(,)Pxy满足||||2xy,则到x轴的距离1d的点P的概率是10.设sincos10,2cos240xxxyy,则sin(2)xy11.在矩形ABCD中,3,4,ABADP为矩形ABCD所在平面上的任意一点,满足:2,21PAPC,则PBPD12.对任意正整数n,定义函数()n如下:(1)1,且当12122iinppp时,12(1),1()0,tin否则，其中121,,,,itppp是不同的质数.若记12{,,,}kAxxx为全部不同正因数的集合,则1()kiix三、解答题:本大题共3小题,共60分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13(本小题满分20分)已知数列{}na满足:123,1,aaa成等差数列,且对任意的正整数n,均有113222nnnSa成立,其中nS是数列{}na的前n项和.(Ⅰ)求123,,aaa的值;(Ⅱ)求数列{}na的通项公式.14(本小题满分20分)已知函数4()sinfxx.(Ⅰ)记()()()2gxfxfx,求函数()gx在3[,]68上的最大值与最小值.(Ⅱ)求28889()()()()180180180180ffff的值.15(本小题满分20分)过双曲线2214yx的右支上任意一点00(,)Pxy做一直线l与两条渐近线交于点,AB,若P是线段AB的中点.(Ⅰ)求证:直线l与双曲线只有一个交点;(Ⅱ)求证:OAB的面积为定值.16(本小题满分20分)已知a为实常数,函数()sin([0,2])xfxexaxx.(Ⅰ)记()fx的导函数为()gx,求()gx在[0,2]上的单调区间;(Ⅱ)若函数()fx在(0,2)上的极大值,极小值恰好各有一个,求实数a的取值范围.