2016-2017学年度广州各区数学中考一模 二次函数综合题汇编无答案

1.（2017.荔湾一模）如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D，与x轴交于A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N。①当点P的坐标为a，2，求△BCM的面积；②当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当四边形OBMC的面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△CNQ为直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标．2.（2016.荔湾一模）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．3.（2017海珠）抛物线caxy2与x轴交于A.B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，抛物线上有一动点P(1)若A(−2,0),C(0,−4)①求抛物线的解析式；②在①的情况下,若点P在第四象限运动,点D(0,−2)，以BD、BP为邻边作平行四边形BDQP，求平行四边形BDQP面积的取值范围。(2)若点P在第一象限运动,且a0,连接AP、BP分别交y轴于点E.F,则问ABCBOFAOESSS是否与a，c有关?若有关，用a，c表示该比值；若无关，求出该比值。4.（2016海珠一模）翻折、对称如图,抛物线cbxxy221与x轴交于点A.B,交y轴于点C32,0，且抛物线对称轴x=−2交x轴于点D，E是抛物线在第3象限内一动点。(1)求抛物线解析式；(2)将△OCD沿CD翻折后,O点对称点O′是否在该抛物线上?请说明理由。(3)若点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴上,过E′作x轴的垂线交抛物线于点F，①求点F的坐标；②直线CD上是否存在点P，使|PE−PF|最大?若存在，试写出|PE−PF|最大值。5.（2017天河）如图,抛物线cbxaxy2为x轴的一交点为A(−6,0)和点B(4，0),与y轴的交点为C(0,3).(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段OA上一动点(不与点A,O重合），过P作平行于y轴的直线与AC交于点Q，点D,M在线段AB上，点N在线段AC上。①是否同时存在点D和点P，使得△APQ和△CDO全等？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分线，求点M的坐标。6.（2016天河区一模）如图，抛物线的顶点坐标为C（0,8），并且经过A（8,0），点P是抛物线上点A,C间的一个动点（含端点），过点P作直线y=8的垂线，垂足为点F,点D,E的坐标分别为（0,6），（4,0），连接PD,PE,DE。（1）求该抛物线的解析式；（2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；（3）求：①当△PDE的周长最小时的点P的坐标；②使△PDE的面积为整数的点P的个数。7.(2017白云区一模)二次函数qpxxy2的顶点M是直线xy21和直线mxy的交点。(1)若直线mxy过点D(0,−3),求M点的坐标及二次函数qpxxy2的解析式；(2)试证明无论m取任何值,二次函数qpxxy2的图象与直线mxy总有两个不同的交点；(3)在(1)的条件下,若二次函数qpxxy2的图象与y轴交于点C,与x的右交点为A,试在直线xy21上求异于M的点P，使P在△CMA的外接圆上8.如图，已知抛物线baxxy2与x轴从左至右交于A、B两点，与y轴交于点C，且∠OCB=α，∠OCA=β，tanα-tanβ=2，OBOAOC2．（1）△ABC是否为直角三角形？若是，请给出证明，若不是，请说明理由；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为P，求四边形ABPC的面积．9.（2017广州黄埔）给定直线0:1kkxyl抛物线12bxaxy：(1)若抛物线经过t，1，t，3两点，且抛物线的顶点在直线xy上，求此时抛物线的顶点坐标；(2)若把直线1l向上平移12k个单位长度得到直线2l,则无论非零实数k取何值,直线2l与抛物线都只有一个交点。①求此抛物线的解析式；②已知MN是过点2,0且平行于x轴的直线，点P是此抛物线上的一个动点（点P不在y轴上）过点P作直线PQ∥y轴与直线MN交于点Q，O为原点,求证:△POQ是等腰三角形。10.（2016黄埔）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，E是对称轴与x轴的交点。(1)求抛物线的解析式，并在−4⩽x⩽2范围内画出此抛物线的草图；(2)若点F和点D关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,过点P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O、F.P、Q为顶点的平行四边形?若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式，再利用求顶点坐标的公式即可；（2）由条件确定出Q点纵坐标的绝对值，再分情况解一元二次方程即可．11.（2017番禺）如图,已知点A(−3,0),二次函数y=ax2+bx+3√的对称轴为直线x=−1，其图象过点A与x轴交于另一点B，与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式，写出顶点坐标；(2)动点M,N同时从B点出发,均以每秒2个三位长度的速度分别沿△ABC的BA,BC边上运动,设其运动的时间为t秒,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动,连结MN,将△BMN沿MN翻折,若点B恰好落在抛物线弧上的B′处,试求t的值及点B′的坐标；(3)在(2)的条件下，Q为BN的中点，试探究坐标轴上是否存在点P，使得以B，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，试说明理由。分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；（2）根据等边三角形的判定，可得△MBN是正三角形，根据翻折的性质，可得B′N，∠B′NM，根据平行线的判定，可得B′的纵坐标，根据点的坐标满足函数解析式，可得关于t的方程，根据解方程，可得t，可得B′的坐标；（3）根据相似三角形的判定与性质，可得答案．12.（2017花都）在坐标系xOy中,抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−3,0)和B(1,0)，与y轴交于点C，(1)求抛物线的表达式；(2)若点D为此抛物线上位于直线AC上方的一个动点，当△DAC的面积最大时，求点D的坐标；(3)设抛物线顶点关于y轴的对称点为M，记抛物线在第二象限之间的部分为图象G.点N是抛物线对称轴上一动点，如果直线MN与图象G有公共点，请结合函数的图象，直接写出点N纵坐标t的取值范围。分析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），然后将a=-1代入即可求得抛物线的解析式；（2）过点D作DE∥y轴，交AC于点E．先求得点C的坐标，然后利用待定系数法求得直线AC的解析式，设点D的坐标为（x，-x2-2x+3），则E点的坐标为（x，x+3），于是得到DE的长（用含x的式子表示，接下来，可得到△ADC的面积与x的函数关系式，最后依据配方法可求得三角形的面积最大时，点D的坐标；（3）如图2所示：先求得抛物线的顶点坐标，于是可得到点M的坐标，可判断出点M在直线AC上，从而可求得点N的坐标，当点N′与抛物线的顶点重合时，N′的坐标为（-1，4），于是可确定出t的取值范围．13.（2016花都）已知抛物线cbxxy2经过A(-1，0),B（3,0）两点，与y轴相较于点C，该抛物线的顶点为D.(1)求该抛物线的解析式及点D的坐标；(2)连接AC,CD,BD,BC,设△AOC，△BOC,△BCD的面积分别为321SSS，，,求证：123SSS(3)点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N,连接MC，是否存在点M使ACMAMN？若存在，求出点M的坐标和此时直线MN的解析式；若不存在，请说明理由。分析：过点P作PG⊥AB，设A（x1，0），B（x2，0），P（x，y），由△AOE∽△AGP、△BGP∽△BOF，利用相似三角形的性质和一元二次方程根与系数的关系可整理得到14.（2017南沙）在平面直角坐标系中,己知正方形ABCD的顶点A的坐标为(0,−1),点B的坐标为(4,−1),顶点C在第一象限内,抛物线y=−12x2+bx+c(b、c常数)的顶点P为正方形对角线AC上一动点。(1)当抛物线经过A.B两点时，求抛物线的解析式；(2)若抛物线与直线AC相交于另一点Q(Q非抛物线顶点,且Q在第一象限内)，求证；PQ长是定值；(3)根据(2)的结论，取BC的中点N，求NP+BQ的最小值。15.（2016南沙）如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点,与y轴交于C(0,3),A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0).点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方。(1)求这个二次函数的表达式。(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积。分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据菱形的对角线互相平分，可得P点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案；（3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标．16.（2017增城）如图,抛物线与x轴交于A.B两点,与y轴交C点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=−12(1)求抛物线的解析式；(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标。分析：（1）根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点理由待定系数法求解即可；（2）首先求得点B的坐标，然后分CM=BM时和BC=BM时两种情况根据等腰三角形的性质求得点M的坐标即可．18.（2016增城）如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(3,0)，直线y=−x+3恰好经过B，C两点(1)写出点C的坐标；(2)求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；(3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标。分析：（1）由直线y=-x+3可求出C点坐标；（2）由B，C两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A点坐标；（3）作出辅助线OE，由三角形的两个角相等，证明△AEC∽△AFP，根据两边成比例，便可求出PF的长度，从而求出P点坐标．19.（2017从化）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c经过A.B.C三点,已知B(4,0),C(2,−6).(1)求该抛物线的解析式和点A的坐标；(2)点D(m,n)(−1m2)在抛物线图象上,当△ACD的面积为278时，求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，设抛物线的对称轴为l，点D关于l的对称点为E，能否在抛物线图象和l上分别找到点P、Q，使得以点D.